Модуль 3

Лекція 2

Незвідні многочлени

В кільці де - область цілісності, ділення з остачею, взагалі кажучи, нездійсненне. При доведенні теореми 1 було використано те, що многочлени розглядаються саме над полем (існування і ). Далі ми розглядатимемо кільця многочленів над полем, а не над довільними областями цілісності, тому є можливість здійснювати в таких кільцях ділення з остачею.

Далі будемо вести позначення - кільце многочленів над полем .

Означення 11. Многочлен називається незвідним у полі , якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочленів виду , де .

Означення 12. Многочлен називається звідним у полі , якщо і коли існують такі многочлени і , що , причому і .

Поняття звідність або незвідність многочлена є поняття відносне і залежить від поля , над яким многочлен розглядається. Будь-який многочлен, який належить можна вважати також многочленом над полем де довільне розширення поля .

Якщо звідний у полі , то він звідний і у будь-якому розширенні цього поля. Але цілком можливо, що многочлен , незвідний у полі , виявиться звідним у деякому розширенні поля .

Теорема 5. Многочлен першого степеня над довільним полем незвідний у цьому полі.

(Це твердження очевидне).

Властивості незвідних многочленів

1. Будь-який многочлен першого степеня незвідний у полі .

2. Якщо - многочлен, незвідний у даному полі, то і многочлен , де - довільна відмінна від нуля константа, незвідний у цьому полі.

3. Якщо -многочлен, незвідний у даному полі многочлен, а - довільний многочлен над цим полем, то або , або .

4. Якщо незвідний у даному полі многочлен ділиться на інший незвідний у цьому полі многочлен , то ці многочлени збігаються з точністю до сталого множника.

5. Якщо добуток многочленів і ділиться на незвідний многочлен , то хоча б один з цих многочленів ділиться на .

Канонічний розклад многочлена

Теорема 6. Кожний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді:

, (13)

де всі є незвідними многочленами у полі . Зображення (13) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів .

Доведення:

Розклад (13) називають розкладом многочлена на незвідні множники у полі .

Дійсно, якщо многочлен незвідний у полі , то вказаний добуток складається із одного множника.

Нехай можна представити у вигляді добутку незвідних множників двома способами:

, (14)

. (15)

Доведемо, що , тобто, обидва розклади мають однакову кількість множників. З (14) і (15) дістаємо:

(16)

Нехай . Так як ліва частина (16) ділиться на праву, то і права повинна ділитися на ліву. Отже, можна стверджувати, що хоч один з множників ділиться на . Дійсно, якби жодний множник не ділився на , то за властивістю 3 вони всі були б взаємно прості з. Але тоді за властивостями взаємно простих многочленів і їх добуток був би взаємно простий з , що неможливо, бо цей добуток ділиться на .

Нехай . Скорочуючи (16) на , дістанемо:

Міркуючи аналогічно щодо інших множників, матимемо

Після відповідних скорочень (16) перейде у таку:

(17)

Але тотожність (17) неможлива, бо незвідні множники, за самим означенням, мають ненульовий степінь, а тому їх добуток не може дорівнювати сталому числу. Отже, і кожний з незвідних многочленів може відрізнятися від відповідного многочлена лише сталим множником.

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді

, (18)

де - попарно різні (неасоційовані) многочлени, незвідні у полі . Це зображення єдине з точністю до сталих множників.

Зображення (18) називають канонічним розкладом многочлена у полі .

Означення 13. Якщо многочлен входить у канонічний розклад (180 у степені з показником , то кажуть, що є множником кратності многочлена . Множники, кратність яких більша за одиницю, називаються кратними множниками.

Теорема 7. Якщо многочлени і розкладені на незвідні множники у довільному полі то найбільший спільний дільник дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як , так і . Якщо таких спільних незвідних множників немає, то

Доведення. Припустимо, що розклади і мають спільні незвідні множники:

Спільний дільник і : Якщо - інший спільний дільник і , то його розклад у незвідні множники де якісь з многочленів Отже, і тому - НСД і .

Якщо спільних незвідних множників у розкладах і немає, то

Якби ці многочлени мали НСД ненульового степеня , то на підставі теореми 6 вони мали б хоч один незвідний спільний дільник, що суперечить умові. Теорему доведено.