Модуль 2

Математичний словник

Означення 1. Числа і називаються конгруентними за модулем , якщо остачі при діленні їх на число рівні між собою, тобто і

Записують це так:

.

Теорема 1. Для того щоб числа і були конгруентні за модулем , необхідно і достатньо, щоб різниця ділилася на , або що теж саме, , де довільне ціле число.

Властивості конгруенцій при незмінному модулі

1. Конгруенції за тим самим модулем можна почленно додавати.

2. Конгруенції за тим самим модулем можна почленно віднімати.

3. До обох частин конгруенції можна додати будь-яке ціле число, тобто з конгруенції випливає , де – довільне ціле число.

4. З однієї частини конгруенції можна переносити доданок з протилежним знаком, тобто з випливає

5. До будь-якої частини конгруенції можна додати або відняти довільне ціле число, кратне модулю, тобто з конгруенції випливає або .

6. Конгруенції за одним модулем можна почленно перемножити.

Наслідок. Конгруенцію можна піднести до будь-якого натурального степеня .

7. Обидві частини конгруенції можна помножити на те саме ціле число, тобто при і цілому справедлива конгруенція .

8. Обидві частини конгруенції можна поділити на їх спільний дільник d, якщо він взаємно простий з модулем m.

9. Якщо у виразі

всі коефіцієнти і числа замінити на конгруентні їм за модулем коефіцієнти і числа відповідно, то новий вираз

буде конгруентній за модулем m до заданого

Наслідок 1. Якщо то

Наслідок 2. Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами

заданому на множині цілих чисел Z, всі коефіцієнти замінити коефіцієнтами , конгруентними з за модулем , то дістанемо многочлен

конгруентний з многочленом , тобто

Наслідок 3. Якщо , то для многочлена (1) справедлива конгруенція

Властивості конгруенцій за різними модулями

10. Обидві частини конгруенції і модуль можна множити на те саме ціле число.

11. Обидві частини конгруенції і модуль можна скоротити на спільний дільник.

12. Якщо конгруенція має місце за кількома модулями, то вона має місце і за модулем, який дорівнює спільному найменшому кратному цих модулів.

13. Якщо конгруенція має місце за модулем , число дільник , то вона має місце і за модулем .

14. Якщо одна частина конгруенції і модуль ділиться на число , то й друга частина конгруенція ділиться на це число.

15. Якщо , то НСД чисел , і , рівні між собою:

Класи чисел за даним модулем

Відношення конгруентності ділить кільце на класи чисел, конгруентних між собою за даним модулем – класи лишків.

Означення 2. Лишком класу за модулем називається будь-яке число цього класу.

( 3 )

Теорема 2. Кожний клас лишків за модулем розпадається на класів лишків за модулем а саме:

.

У фактор-множині Z/m класів лишків за даним модулем m вводяться операції додавання і множення, погоджені з операціями додавання й множення в кільці цілих чисел, а саме:

Означення 3. Сумою класів і називається такий клас , який містить у собі число .

Означення 4. Добутком класів і називається такий клас , який містить у собі число .

. (5)

Теорема 3. Фактор-множина класів лишків за даним модулем є комутативним кільцем з одиницею.

Теорема 4. Якщо m - складене число, то Z/m є комутативне кільце з дільниками нуля. Якщо ж m – просте число, то Z/m – поле.

Повна і зведена система лишків. Функція Ейлера

Означення 5. Система лишків, утворена з m чисел, узятих по одному з кожного класу, називається повною системою лишків за модулем m.

Теорема 5. Якщо , b- довільне ціле число, а х – пробігає ПСЛ за модулем m, то й лінійна форма також пробігає ПСЛ за модулем m.

Означення 6. Найбільшим спільним дільником класу називається найбільший спільний дільник чисел а і m. Якщо , то називається взаємно простим з модулем m.

Означення 7. Система лишків, узятих по одному з кожного класу, взаємно простого з модулем, називається зведеною системою лишків.

Означення 8. Функцією Ейлера називається функція, визначена на множині натуральних чисел; значення є кількість невід‘ємних чисел, менших за m і взаємно простих з m.

Теорема 6. Якщо , х пробігає ЗСЛ за модулем m, то лінійна форма також пробігає ЗСЛ за модулем m.