Додаткові завдання для аудиторної роботи.

Приклад 1.

Визначити координати центра та значення радіуса для кожної з наступних сфер:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Відповідь.

1) (3; -4; -1), R=4;

2)(-1; 2; 0); R=3;

3) сфера уявна, оскільки ;

4) R=0; тільки одна дійсна точка (2; -6; 1);

5) , R=2.

Приклад 2.

Скласти рівняння сфері для кожного з випадків:

1. сфера має центр С(0; 0; 0) та радіус r = 9;

2. сфера має центр С(5; -3; 7) та радіус r = 2;

3. сфера проходить через початок координат та має центр С (4; -4; -2);

4. сфера проходить через точку А (2; -1; -3) та має центр С (3; -2; 1);

5. точки А (2; -3; 5) та В(4; 1; -3) є кінцями одного з діаметрів сфери;

6. центром сфери є початок координат, а площина є дотичною до сфери;

7. сфера проходить через чотири точки: М₁ (1; -2; -1), М₂ (-5; 10; -1), М₃ (4; 1; 11), М₄ (-8; -2; 2).

Відповідь.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Приклад 3.

Скласти рівняння сфери радіуса r =3, що дотикається до площини в точці М₁ (1; 1; -3).

Відповідь.

та

Приклад 4.

Скласти рівняння сфери радіуса С(2; 3; -1), яка відтинає від прямої

хорду, що має довжину, рівну 16.

Відповідь.

Приклад 5.

Скласти рівняння конуса, вершина якого знаходиться на початку координат, а напрямна задана рівняннями:

Відповідь.

Приклад 6.

Пряма обертається навколо оси OX . Знайти рівняння описаної нею поверхні.

Відповідь.

Приклад 7.

Напрямна циліндра задана рівняннями:

;

а його твірна перпендикулярна до площини напрямної. Скласти рівняння циліндра.

Відповідь.

Приклад 8.

Скласти рівняння конічної поверхні, вершина якої знаходиться в початку координат, а напрямна задана рівняннями:

1)

2)

3)

Відповідь.

1)

2)

3)

Приклад 9.

Скласти рівняння конічної поверхні, вершина якої знаходиться в точці

(3 ,-1, -2), а напрямна задана рівняннями

Відповідь.

Приклад 10.

Скласти рівняння конічної поверхні з вершиною в початку координат, твірні якої дотикаються до сфери .

Відповідь.

Приклад 11.

Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням еліпса навколо осі Oy.

Відповідь.

Приклад 12.

Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням гіперболи навколо осі Oz.

Відповідь.

Приклад 13.

Знайти точки перетину поверхні і прямої:

1) і ;

2) і ;

3) і .

Відповідь.

1. (3, 4, -2) і (6, -2, 2);

2. Пряма дотикається до поверхні у точці (4, -3, 2);

3. Пряма лежить на поверхні.

Приклад 14.

Знайти геометричне місце дотичних, проведених з початку координат до сфери .

Відповідь.

Приклад 15.

Скласти рівняння дотичної площини до поверхні у точці (-6, 2, 6).

Відповідь.

Домашнє завдання до модуля № 4.

Приклад 1.

Записати рівняння сфери, що має центр в точці:

1. (2, -1,3) та радіус R=6;

2. (0, 0, 0) і проходить через точку (6, -2, 3);

3. (1, 4, -7) і дотикається до площини ;

4. (6, -8, 3) і дотикається осі Oz.

Відповідь.

1)

2)

3)

4)

Приклад 2.

Скласти рівняння сфери, описаної навколо тетраедра, одна з вершин якого співпадає з початком координат, а три інших знаходяться в точках (2, 0,0), (0, 5, 0) та (0, 0,3).

Відповідь.

Приклад 3.

Визначити координаті центра та радіус для кожної сфери:

1)

2)

3)

Відповідь.

1. (2, 1, -1) r = 5;

2. (0, 0, 3) r = 3;

3. (0, -10, 0) r = 10.

Приклад 4.

Напрямна конуса задана рівняннями: , а вершина його знаходиться в точці (-3, 0, 0). Скласти рівняння конуса.

Відповідь.

Приклад 5.

Скласти рівняння круглого конуса, що проходить через всі три координатні осі.

Відповідь.

Приклад 6.

Знайти рівняння циліндричної поверхні, знаючи, що вона проходить через криву , а її твірна: 1) паралельна осі Ox; 2) паралельна прямій x=y, z=1.

Відповідь.

1)

2)

Приклад 7.

Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням еліпса навколо осі Oх.

Відповідь.

Приклад 8.

Знайти точки перетину поверхні і прямої:

1) і

2) і

Відповідь.

1. пряма і поверхня не мають спільних точок;

2. (2, -3, 0) і (0, 0,2).

Приклад 9.

Скласти рівняння еліпсоїда, який проходить через коло і точку (3, 1, 1), якщо його осі збігаються з осями координат.

Відповідь.

Приклад 10.

Довести, що рівняння визначає гіперболічний параболоїд.