Питання для самоперевірки.

1. Дати визначення поверхні.

2. Дати визначення поверхні другого порядку. Пояснити відмінність.

3. Дати визначення циліндричної поверхні, твірної та напрямної циліндричної поверхні.

4. Пояснити, як можна отримати рівняння циліндричної поверхні.

5. Дати визначення конічної поверхні та конічної поверхні другого порядку.

6. Перерахувати основні типи поверхонь другого порядку.

7. Дати визначення сфери, розповісти про перетин сферичної поверхні з прямою та площиною.

8. Розповісти про еліпсоїд та еліпсоїд обертання.

9. Пояснити, що спільного та відмінного між сферою та еліпсоїдом обертання.

10. Дати визначення однопорожнинного та двопорожнинного гіперболоїдів. Вказати на спільні риси між ними.

11. Розповісти про еліптичний та гіперболічний параболоїди, дати визначення осей симетрії цих поверхонь.

12. Дати визначення прямолінійних твірних поверхонь другого порядку. Вказати на особливості прямолінійних твірних однопорожнинного гіперболоїда та гіперболічного параболоїда.

13. Розповісти, за яких умов пряма може перетинати поверхню, дотикатися до неї або не перетинати її.

14. За якої умови пряма стає прямолінійною твірною певної поверхні?

15. Дати визначення дотичної площини та нормалі до поверхні.

РОЗДІЛ 2. Аудиторні практичні заняття.

Завдання для аудиторної роботи з розв’язками.

Приклад 1.

Скласти рівняння сфери з центром в точці С(1, 4, -7), що дотикається до площини 6x+6y-7x+42 = 0.

Розв’язок.

Рівняння сфери запишемо у вигляді Радіус сфери знайдемо як відстань від точки С до даної площини:

Відповідь.

Приклад 2.

Знайти центр та радіус кола .

Розв’язок.

Коло задане як перетин сфери площиною; центр цього кола отримаємо, опустивши перпендикуляр з центра сфери на січну площину та знайшовши їх точку перетину. Радіус кола r можна обчислити за формулою , де R – радіус сфери, а d – відстань центра сфери до січної площини.

Відповідь.

(1; 6; 0); r = 5.

Приклад 3.

Скласти рівняння циліндричної поверхні, якщо напрямна лежить в площині Oxy та має рівняння , а твірна паралельна вектору (1, 0, 1).

Розв’язок.

Нехай т. Р(x₀, y₀, z₀) – точка перетину довільної твірної з напрямною. Точка М ( x, y, z) – довільна точка циліндра.

Складемо рівняння прямої (твірної) . Оскільки напрямна лежить в площині Oxy, то z₀=0 (1), тобто 

x - x₀ = z  x₀ = x - z (2)

y - y₀ = 0•z  y₀ = y (3)

Підставивши (1), (2), (3) в рівняння напрямної та звівши подібні, отримаємо:

Відповідь.

Приклад 4.

Скласти рівняння циліндричної поверхні, напрямна якої є колом , а твірні паралельні вектору (1, 1, 1).

Розв’язок.

Запишемо параметричні рівняння довільної твірної, що перетинається в точці (x, y, z) з напрямною лінією:



Підставляючи ці вирази в рівняння x+y+z=0, отримаємо: . Отже,

Підставляємо ці вирази в інше з рівнянь напрямної лінії, тобто в рівняння . Тоді отримаємо: . Це й буде шукане рівняння циліндра.

Відповідь.

Приклад 5.

Скласти рівняння конічної поверхні з вершиною в точці S (1, 2, 4), твірні якої складають з площиною 2x+2y+z=0 кут 45.

Розв’язок.

Нехай т. М ( x, y, z) – довільна точка цієї поверхні, тоді

. Зробивши певні перетворення отримуємо рівняння конічної поверхні

Відповідь.

Приклад 6.

Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням гіперболи , x = 0 навколо осі Oy.

Розв’язок.

Рівняння даної гіперболи запишемо у вигляді . Почленно додаючи ці рівняння, отримаємо рівняння однопорожнинного гіперболоїда обертання

Відповідь.

Приклад 7.

Знайти лінію перетину еліпсоїда з площиною та координати її центра та півосі.

Розв’язок.

Лінія перетину даного еліпсоїда з даною площиною запишеться наступною системою рівнянь:

, або , або

Останнє рівняння визначає еліпс, розташований в площині , а його центр знаходиться в точці О (2, 0, ½), його півосі a = 2, b = √2.

Відповідь.

, О (2, 0, ½), a = 2, b = √2.