Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Priama_v_prostori1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

28.10.2018

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Питання для самоперевірки

1. Запишіть канонічні рівняння прямої у просторі. Який геометричний зміст мають сталі, що входять у це рівняння?

2. Як пояснюється випадок, коли у канонічному рівнянні один із знаменників дорівнює нулю?

3. Запишіть рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки.

4. Параметричні рівняння прямої у просторі. Як отримати параметричні рівняння прямої із канонічних рівнянь?

5. Рівняння прямої як лінії перетину двох площин. Перехід від рівнянь прямої як лінії перетину двох площин до канонічних рівнянь.

6. Яким чином можуть бути розташовані прямі у просторі?

7. Запишіть формулу косинуса кута між двома прямими. За допомогою яких міркувань із цієї формули одержуються умови паралельності, перпендикулярності двох прямих?

8. Запишіть умову належності двох прямих площині. За допомогою яких міркувань можна отримати цю умову?

9. Запишіть необхідну і достатню умову перетину двох прямих.

10. Дайте визначення кута між прямою і площиною.

11. Запишіть формулу обчислення синуса кута між площиною і прямою. За допомогою яких міркувань із цієї формули одержуються умови паралельності, перпендикулярності прямої і площини?

Розділ 2. Аудиторні практичні заняття

Приклад 1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), якщо вона проходить через дві точки: і .

Розв’язання.

1. Канонічне рівняння. Скористаємось формулою:

;

2. Параметричне рівняння:

3. Рівняння прямої як лінії перетину двох площин:

Використаємо канонічне рівняння прямої, прирівняємо перший і другий, перший і третій вирази:

Приклад 2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .

Розв’язання. Знайдемо направляючий вектор прямої. Нормальні вектори площин, які утворюють пряму, матимуть координати , .Напрямний вектор прямої знайдемо як векторний добуток векторів і :

Запишемо рівняння прямої:

Приклад 3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:

(*)

Розв’язання. Цю пряму задано як лінію перетину двох площин. Канонічні рівняння у просторі мають вигляд:

Напрямний вектор цієї прямої знайдемо як векторний добуток нормальних векторів і :

За точку візьмемо точку перетину цієї прямої з площиною , тоді . Дістанемо систему двох рівнянь з двома невідомими:

Розв’язавши систему, маємо . (Точку можна обрати будь-яким чином, необхідно, щоб вона задовольняла систему рівнянь *)Отже, точка матиме координати і канонічне рівняння прямої запишеться у вигляді:

Приклад 4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .

Розв’язання.

1) Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно заданій прямій, має вигляд ;

2) Знайдемо координати точки перетину площини і прямої . Для цього розв’яжемо систему рівнянь:

Координати точки .Тепер запишемо рівняння перпендикуляра .

Приклад 5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .

Розв’язання.

1) Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку , перпендикулярно площині:

2) Знайдемо точку перетину прямої і площини:

а) Запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді:

б) Підставимо отримані рівності в рівняння площини:

- проекція точки на площину, середина відрізка ;

в) Запишемо рівняння для відшукання координат точки :

Відповідь: .

Приклад 6. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти ,медіани .

Розв’язання

1)Складемо рівняння медіани. Знайдемо координати точки . Так як медіана, то .Звідси маємо:

Маємо координати двох точок, тому можна записати рівняння медіани:

2)Складемо рівняння висоти.

1. Рівняння прямої :

2. Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно прямій :

;

3.Знайдемо точку перетину прямої і площини , для цього розв’яжемо систему:

Координати точки . Тепер запишемо рівняння перпендикуляра:

Приклад 7. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.

Розв’язання. Складемо рівняння бісектриси. Канонічні рівняння прямої у просторі задається таким чином:

Сталі – це координати точки, через яку проходить пряма (В даному випадку це координати точки ); − координати - точки перетину бісектриси зі стороною . Очевидно, що розв’язок задачі зводиться до пошуку координат точки .

Відомо, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні відповідним прилеглим сторонам трикутника. Тобто: , де – число, яке показує в якому відношенні точка ділить відрізок . Знайдемо . Для цього попередньо визначимо довжини відрізків і :

Отже:

Тепер знайдемо координати точки :

тобто .

2)Маємо координати двох точок, через які проходить пряма , отже можна записати рівняння бісектриси:

Відповідь: Канонічне рівняння бісектриси має вигляд:

Приклад 8. Перевірити, чи лежать три точки на одній прямій:

Розв’язання

Складемо рівняння прямої яка проходить через точки , :

;

Підставимо точку в дане рівняння:

;

З отриманої неправильної рівності, слідує, що точки не лежать на одній прямій.

2) Складемо рівняння прямої яка проходить через точки , :

;

Підставимо точку в дане рівняння:

З отриманої рівності, слідує, що точки лежать на одній прямій.

Відповідь: 1) Ні; 2) Так.

Приклад 9. Скласти рівняння прямої: параметричні і канонічні, якщо пряма задана загальними рівняннями:

Розв’язання.

1) Знайдемо координати напрямного вектора прямої:

Знайдемо координати точки, що належить прямій:

Запишемо параметричні рівняння прямої:

Запишемо канонічні рівняння прямої:

Приклад 10. Знайти сліди прямої

у площинах і побудувати їх.

Розв’язання.

а) у площині , ,

б) у площині , ,

Приклад 11. Обчислити кут між прямими

Розв’язання.

Знайдемо координати напрямного вектора другої прямої:

або

За формулою косинуса кута між прямими маємо :

Приклад 12. Дослідіть паралельність прямих та .

Розв’язання.

Застосуємо умову паралельності прямих , отже, прямі паралельні.

Приклад 13. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно:

а) вектору ;

б) прямій ;

в) осі ;

г) осі ;

д) прямій

Розв’язання.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д)

Приклад 14. Скласти рівняння площини, що проходить точку і пряму .

Розв’язання. Нехай точка належить площині , а точка - прямій. , і компланарні, тобто рівняння площини має вигляд:

Знайдемо координати точки :

− напрямний вектор прямої.

Точка збігається з точкою .

;

Приклад 15. Задано пряму і точку . Необхідно

скласти рівняння площини, що проходить через задану пряму і точку ;
скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої;
обчислити відстань від точки до прямої;
зайти проекцію точки на пряму.

Розв’язання.

рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої:
знайдемо точку перетину прямої і площини:

− точка на прямій, найближча до , проекція точки на пряму.

Приклад 16. Задано площину і пряму .

Необхідно:

обчислити синус кута між прямою і площиною;
координати точки перетину прямої і площини;
скласти рівняння площини, що проходить через задану пряму, перпендикулярно до площини.

Розв’язання.

;
– точка перетину прямої і площини;
а) рівняння прямої, що проходить точку перпендикулярно до площини , має вигляд:

б) проведемо площину через отриману пряму і точку даної прямої .

Прилад 17. Переконавшись, що прямі і паралельні між собою, знайти відстань між ними.

Розв’язання.

а)

Запишемо умову паралельності прямих: , отже, вони паралельні.

б) Знайдемо координати однієї з точок першої прямої:

Точка − точка другої прямої, отже,

в)

Приклад 18.Через точку паралельно площині провести пряму так, щоб вона перетинала пряму .

Розв’язання. Шукана пряма проходить через дану точку . Нехай її направляючий вектор має такі координати - .

Тоді канонічні рівняння шуканої прямої матимуть такий вид:

Тепер зрозуміло , що для розв’язання задачі достатньо визначити направляючий вектор шуканої прямої .

Шукана пряма паралельна даній площині , тому її направляючий вектор перпендикулярний до вектора нормалі даної площини , отже, скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю. Це дає можливість записати умову паралельності прямої і даної площини у такому вигляді (перше рівняння): або .

Тепер знайдемо координати вектора , де точка належить даній прямій . З рівняння даної прямої можна знайти скільки завгодно таких точок: наприклад, це може бути точка . Тоді шуканий вектор має такі координати:.