8. Синтез фильтров
Идеальный фильтр нижних частот с полосой прозрачности w пр имеет АЧХ вида рис.8.1.
Рис. 8.1.
По виду полинома знаменателя передаточной характеристики различают фильтры Баттеворта, Чебышева, Золотарева, Бесселя и др.
-
Фильтры Баттеворта.
Квадрат АЧХ фильтра Баттеворта имеет вид:
,
где 
–
нормированная частота, e – параметр,
определяющий максимальное затухание
на границе полосы пропускания, n –
порядок фильтра. График функции К(W )
для разных n показан
на рис. 8.2.
Рис. 8.2
В полосе пропускания коэффициент передачи меняется монотонно. Такая аппроксимация называется максимально плоской. Операторная характеристика фильтра получается из квадрата АЧХ:
Полюса передаточной
характеристики равны 
где 
k =
1, 2, …, n –
для четных n, и 
, k=0,
1, 2 (n-1) –
для нечетных n. Таким
образом, полюса располагаются на
окружности единичного радиуса, а разность
аргументов соседних корней равна 
.
На рис.8.3 показаны полюса для n=1,
3, 4.
Рис. 8.3
Вид функции К(р) и расположение полюсов не зависят от величины e .
С увеличением порядка фильтра n его АЧХ вне полосы пропускания спадает все более круто. Полоса же пропускания не зависит от порядка фильтра.
-
Фильтры Чебышева.
Аппроксимация АЧХ фильтра производится здесь по формуле
,
где 
при 
; 
при W >1
– полином Чебышева.
Графики функции К(W ) для n=2 и n=4 приведены на рис. 8.4. Такая аппроксимация называется равноволновой. Границы колебания АЧХ внутри полосы пропускания задаются величиной e .
Рис. 8.4
Операторные передаточные функции фильтров Баттеворта и Чебышева имеют одинаковый вид
и различаются лишь значениями полюсов. Фильтры с такой характеристикой называют полиномиальными. Пример схемы ФНЧ полиномиального типа изображен на рис. 8.5.
Рис. 8.5
При одинаковых требованиях к ФНЧ фильтры Чебышева требуют меньшего порядка, чем фильтры Баттеворта, однако последние вносят меньшие искажения.
-
Фильтры Золотарева.
Название таких фильтров происходит от названия дробей Золотарева, используемых для описания передаточной функции фильтра, которая представляет собой отношение двух полиномов, нули которых располагаются так, чтобы К(W ) в полосе задержания имела минимумы (см.рис.8.6).
Рис. 8.6
Порядок фильтра Золотарева и его сложность самые минимальные. Часто эти фильтры называют эллиптическими, так как они требуют для своего описания эллиптические функции. На рис.8.7 приведен пример схемной реализации ФНЧ Золотарева.
Рис. 8.7
-
Нелинейные цепи и методы их анализа
9.1. Метод графического интегрирования
Метод графического интегрирования основан на графическом подсчете определенного интеграла и заключается в последовательном нахождении площадей под соответствующей подынтегральной функции кривой. Он применяется для анализа электрических цепей, переходные процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.
9.2. Метод изоклин
Данный метод
является одним из наиболее широко
используемых графических методов
приближенного интегрирования. Он
непосредственно используется для
решения уравнений первого порядка
вида 
и
при этом включает в себя в общем случае
следующие этапы:
в плоскости 
по
уравнениям изоклин 
(изоклина
- линия равного наклона, вдоль которой
функция 
имеет
постоянное значение, т.е. геометрическое
место точек, для которых 
)
строятся изоклины для различных значений
углового коэффициента 
;
вдоль каждой
изоклины наносятся черточки с наклоном,
определяемым соответствующим
значением 
;
от точки 
соответствующей
начальному условию, строится интегральная
кривая так, чтобы она пересекала каждую
изоклину параллельно нанесенным на ней
черточкам; полученная кривая является
графиком искомой зависимости 