Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5310 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Донецкий национальный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Пряма у просторі (ІІ курс).DOC
Скачиваний:
47
Добавлен:
28.10.2018
Размер:
1.81 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Задачі до практичних занять. Змішані задачі, що відносяться до рівняння площини та рівняння прямої.

  1. Довести, що пряма паралельна площині 4х – 3у – 6z – 5 = 0.

  2. Довести, що пряма належить площині 4х – 7у +6z – 56 = 0.

  3. Довести, що пряма перпендикулярна до площини 2х – 5у + 4z + 52 = 0. Знайти точку їх перетину.

  4. Знайти точку перетину прямої та площини:

А) , 2х + 3у + z – 1 = 0.

Б) , х – 2у + z – 15 = 0.

В) , х + 2у – 2z + 6 = 0.

  1. Знайти проекцію точки М (2, 5, -3) на пряму .

  2. Знайти проекцію точки М (5, 1, 3) на пряму

  3. Знайти проекцію точки М (1, -2, 4) на площину 5х – 3у + 6z + 35 = 0.

  4. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку M (2; -4; -l) та середину відрізка прямої що знаходиться між площинами 5х + 3у – 4z + 11 = 0, 5х + 3у – 4z – 41 = 0.

  5. Скласти рівняння площини, що походить через точку М(1; -2; 1) перпендикулярно до прямої

  6. При якому значенні т пряма паралельна площині х – 3у + 6z + 7 = 0?

  7. При яких значеннях т і С пряма перпендикулярна до площини 3х – 2у + Сz + 1 = 0?

  8. Знайти точку Q,, симетричну точці Р (4; 1; 6) відносно прямої

  9. Знайти точку Q,, симетричну точці Р (2; -5; 7) відносно прямої, що проходить через точки М1(5; 4; 6) та М2(-2; -17; -8).

  10. На площині Oxz знайти таку точку Р, різниця відстаней якої до точок М1(3; 2; -5) та М2(8; -4; -13) була б найбільшою.

  11. Скласти рівняння проекції прямої на площину 3х – у + z – 4 = 0.

  12. Знайти кут між прямою та площиною 4х +2у + 2z – 5 = 0.

  13. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму х = 2t +1, y = -3t + 2, z = 2t – 3 та точку М(2, -2, 1).

  14. Довести, що прямі , лежать в одній площині, і скласти рівняння цієї площини.

  15. Знайти точку Q, симетричну точці Р(-3; 2; 5) відносно площини, що проходить через прямі

  16. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно до площини 3х + 2у – z – 5 = 0.

  17. Скласти рівняння проекції прямої на площину 3х – у + z – 1 = 0.

  18. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М(3; -2; -4) паралельно площині 3х – 2у – 3z – 7 = 0 і перетинає пряму .

Відповіді.

  1. N (4, 8, -5).

  2. А) (2, -3, 6); Б) пряма паралельна площині; В) пряма належить площині.

  3. N (-3; -3,2; 3,6).

  4. N (2, -1, 2).

  5. N (-4, 1, -2).

  7. х + 2у + 3z = 0.

  8. т = -3.

  9. т = -6, С =

  10. Q (2, -3, 2).

  11. Q (4, 1, -3).

  12. Р (-2, 0, 3).

  14. sin

  15. 4х + 6у +5z – 1 = 0.

  16. 2х – 16у – 13z + 31 = 0.

  17. Q (1, -6, 3).

  18. х – 8у – 13z + 9 = 0.

Завдання для самостійної роботи.

Варіант 1

  1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві точки М (1, -3, 0,5) і N (3, 4, 2,5).

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через початок координат паралельно прямій

  3. Звести рівняння прямої до канонічного вигляду.

  4. Дослідити взаємне розміщення пар прямих: і

  5. У прямокутній системі координат дано дві прямі: і . Знайти кут між цими прямими.

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -3, 5) паралельно прямій

  7. В афінній системі координат дано дві прямі: і . Скласти рівняння площини, яка проходить через них.

  8. Знайти проекцію В точки А (5, 2, -1) на площину 2х – у +3z + 23 = 0.

  9. У прямокутній системі координат дві прямі задані рівняннями: і . Знайти відстань між ними.

  10. Дано три вершини трикутника: А(4, 1, -2), В(2, 0, 0), Р(-2, 3, -5). Скласти рівняння його висоти, яка проведена з вершини В.

Варіант 2

  1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві точки М (1, -3, 0,5) і N (4, -3, 2).

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, 0, 2) і паралельна площинам х + у +z – 3 = 0 і х – 2у + z + 2 = 0.

  3. Звести рівняння прямої до канонічного вигляду.

  4. Дослідити взаємне розміщення пар прямих: і

  5. Знайти кут між прямими: і

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 2, 3), перетинаючи вісь Оz під прямим кутом.

  7. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму х = 2t +1, y = -3t + 2, z = 2t – 3 та точку М(2, -2, 1).

  8. Знайти проекцію В точки А (4, -3, 1) на площину х + 2у – z – 3 = 0.

  9. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного з точки А (1, 0, 1) на пряму

  10. Скласти рівняння прямої, яка проходить через центр тяжіння трикутника А(2, -1, 7), В(4, 5, 1), Р(-3, 2, 4) і початок координат.

Варіант 3

  1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -3, 0,5) і паралельна вектору = (2, 1, -3).

  2. Написати параметричні рівняння прямої

  3. Пряма задана як лінія перетину площин 2х + 3у – 16z – 7 = 0 і 3х + у – 17z = 0. Скласти канонічні рівняння цієї прямої.

  4. Дослідити взаємне розміщення прямої та площини х – 3у – 3z + 5 = 0.

  5. У прямокутній системі координат дано пряму і площину 2х – у – 3z + 4 = 0. Знайти кут між ними.

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (0, 1, 0), паралельно осі Оz.

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М (2, -15, 1) і Р (-1, 1, -1), паралельно прямій, визначеній точками А (5, -2, 3) і В (6, 1, 0).

  8. Знайти проекцію В точки А (1, 2, 1) на пряму .

  9. Знайти відстань від точки М (-1, 2, 1) до прямої а: .

  10. Дано три вершини трикутника: А (1, -2, -4), В (3, 1, -3), С (5, 1, -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, опущеної з вершини В на протилежну сторону.

Варіант 4

  1. Скласти рівняння прямої, яка з’єднує початок координат з точкою М (а, b, c).

  2. Написати параметричні рівняння прямої

  3. Пряма задана системою рівнянь Скласти канонічні рівняння цієї прямої.

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і .

  5. Знайти кут між прямими і

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -5, 3) та утворюючу з осями координат кути .

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (4, -3, 1) і паралельна прямим і .

  8. Знайти проекцію В точки А (1, -2, 3) на пряму

  9. Знайти найкоротшу відстань між прямими і .

  10. Скласти рівняння перпендикуляра, проведеного з точки М (6, 1, -5) на пряму .

Варіант 5

  1. Скласти рівняння прямої, яка з’єднує точки М (1, 1, 0) і Р (1, 1, 1).

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить паралельно площинам 3х + 12у – 3z – 5 = 0, 3х – 4у + 9z + 7 = 0 і перетинає прямі і .

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через початок координат і утворює з усіма осями прямокутної системи координат рівні кути.

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і .

  5. Знайти кут між прямими і .

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і утворює з осями координат кути .

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (2, 0, 1) і пряму .

  8. Знайти проекцію прямої на площину х – у + 3z + 8 = 0.

  9. Знайти відстань від точки М (7, 9, 7) до прямої а: .

  10. Дано три вершини трикутника: А (2, -1, -3), В (5, 2, -7), С (-7, 11, 6). Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.

Варіант 6

  1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки М (2, -1, -1) і К (3, 3, -1).

  2. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку А (5, 4, -1) паралельно вектору (1, 2, 7).

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М(1, 0, 5) і перетинається з прямими і .

  4. Дослідити взаємне розміщення прямих: і .

  5. Знайти кут між прямою і площиною 2х + 3у – 6z +2 = 0.

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна прямій .

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі: і .

  8. Знайти проекцію точки А (3, -4, -2) на площину, яка проходить через паралельні прямі і .

  9. На прямій знайти точки, які знаходяться на відстані 1 від площини х + у + z +1 = 0.

  10. Дано вершини трикутної піраміди А(1, -3, 4), В(0, 1, -1), Р (-2, 3, 1), К (5, 3, 4). Скласти рівняння висоти, яка проведена з вершини К на основу (АВР).

Варіант 7

  1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 1, -3) паралельно вектору = (1, -3, 4).

  2. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку К (5, 4, -1) паралельно осі Ох.

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно прямій .

  4. При яких значеннях т і п прямі і паралельні?

  5. Знайти сінуси кутів, які утворює пряма з площинами координат прямокутної системи.

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна осі Оу.

  7. В афінній системі координат дано дві прямі: і . Скласти рівняння площини, яка проходить через них.

  8. Знайти точку В, симетричну даній точці Р (3, -4, -6) відносно площини, яка проходить через точки М (-6, 1, -5), Н (7, -2, -1), К (10, -7, 1).

  9. Знайти найкоротшу відстань між двома прямими і .

  10. Дано три вершини трикутника: А(2, 4, 5), В(-1, 3, 2), Р(4, -4, 1). Скласти рівняння висоти АН.

Варіант 8

  1. Скласти рівняння прямих, які утворені перетином площини 5х – 7у +2z –3 = 0 з координатними площинами.

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через дані точки: К (1, 1, -2), С (3, -1, 0).

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно вектору = (2, -3, 5).

  4. Дослідити взаємне розміщення прямих: і .

  5. Знайти кут між прямою і площиною 7х + 2у – 3z +5 = 0.

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна прямій

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М (1, 2, 3) і К (4, -1, -2), паралельно вектору = (6, -8, 10).

  8. Знайти точку В, симетричну точці Р (-3, 2, 5) відносно площини, яка проходить через прямі і

  9. Знайти найкоротшу відстань між двома прямими і

  10. Дано вершини трикутника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3) та С(4; -7; -2). Скласти параметричні рівняння його медіани, що проведена з вершини С.

Варіант 9

  1. Скласти рівняння прямої, яка утворена перетином площини 3х – у –7z +9 = 0 з площиною, яка проходить через вісь Ох і точку Р (3, 2, -5).

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через дані точки: М (3, -1, 2), Р (2, 1, 1).

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно осі Ох.

  4. Дослідити взаємне розміщення прямих: і

  5. Знайти гострий кут між прямими і .

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і точку Р (2, -3, 4).

  7. Скласти рівняння площини, що походить через точку М(1; -2; 1) перпендикулярно до прямої

  8. Дана точка М (1, 2, 3). Знайти координати точки В, симетричної точці М відносно площини 2х + у – z – 13 = 0.

  9. Знайти найкоротшу відстань між двома прямими і

  10. Дано три вершини трикутника: А (3, -1, -1), В (1, 2, -7), С (-5, 14, -3). Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині С.

Варіант 10

  1. Знайти точки перетину прямої з координатними площинами.

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку: М (1, -1, -3) паралельно прямій

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки: М (1, -2, 1), Р (3, 1, -1).

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і

  5. Знайти тупий кут між прямими і

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, -5, 3) і паралельна прямій

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (1, 2, -3) паралельно прямим і .

  8. Знайти точку В, симетричну точці А (1, -2, 4) відносно прямої

  9. Знайти відстань точки Р (1, -1, -2) від прямої .

  10. Три послідовні вершини паралелограма знаходяться у точках А(9, -3, 2), В(4, -2, 8), С(-7, -5, 6). Записати рівняння його діагоналей.

Варіант 11

  1. Визначити, при якому значенні D пряма перетинає вісь Ох.

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -1, -3) паралельно вектору = (2, -3, 4).

  3. Скласти канонічні рівняння прямої

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і .

  5. Знайти косинус кута між прямими і

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, -5, 3) і паралельна прямій

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (-2, 3, 0) і через пряму

  8. Знайти проекцію точки Р (5, 4, -1) на площину 7х – 3у + 2z + 41 = 0.

  9. Знайти відстань від точки Р (2, 3, -1) до прямої .

  10. Дано три вершини трикутника: А(3, 6, -7), В(-5, 2, 3), Р(4, -7, -2). Скласти параметричні рівняння його медіани, яка проведена з вершини Р.

Варіант 12

  1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, -5, 3) і паралельна осі Оу.

  2. Написати параметричні рівняння прямої

  3. Скласти канонічні рівняння прямої

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і

  5. Знайти косинус кута, який утворений прямими: і

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (0, 0, 1) і перетинає кожну з прямих: і

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (2, -2, 1) і пряму

  8. Знайти точку, симетричну точці А (1, 5, 2) відносно площини 2х – у – z + 11 = 0.

  9. Знайти відстань від точки Р (2, 3, -1) до прямої

  10. Дано вершини трикутника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3) та С(5; 1; -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, що опущена з вершини В на протилежну сторону.

Варіант 13

  1. Визначити, при якому значенні D пряма перетинає вісь Оу.

  2. Знайти точку перетину площини 5х – 3у + 2z – 30 = 0 з віссю Оу.

  3. Пряма задана як лінія перетину площин 2х + 3у – 16z – 7 = 0, 3х + у – 17z = 0. Скласти канонічні рівняння цієї прямої.

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і

  5. Знайти синус кута , утвореного прямою з площиною 3х + у – 2 = 0.

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 2, -3) перпендикулярно до вектора = (6, -2, -3) і перетинає пряму .

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі і .

  8. Знайти проекцію прямої на площину ХОY.

  9. Знайти відстань від точки Р (2, 3, -1) до прямої .

  10. Дано трикутник з вершинами А(1, 4, -5), В(-3, 6, 9), С(5, 6, 7). Скласти рівняння прямої, на якій лежить медіана, що проведена з вершини В.

Варіант 14

  1. Визначити, при якому значенні D пряма перетинає вісь Оz.

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через дані точки: В (0, 0, 1), Н (0, 1, -2).

  3. Скласти канонічні рівняння прямої

  4. Яким повинно бути значення коефіцієнта т, щоб пряма була паралельна площині 3х – 4у + 7z – 2 = 0.

  5. Знайти косинус кута між двома прямими: та

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку Р (-4, -5, 3) і перетинає дві прямі і .

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму перпендикулярно до площини 3х + 2у – z – 5 = 0.

  8. Знайти проекцію точки Р (4, -3, 1) на площину х + 2у – z – 3 = 0.

  9. Знайти відстань від точки Р (5, -12, -4) до прямої .

  10. Скласти рівняння прямої, яка проходить через центр тяжіння трикутника А(2, -1, 7), В(4, 5, 1), Р(-3, 2, 4) і початок координат.

Варіант 15

  1. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через дві дані точки: М (3; -1; 2), Р (2; 1; 1).

  2. Знайти точку перетину площини 5х – 3у + 2z – 30 = 0 з віссю Оz.

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно осі Оу.

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і

  5. Знайти косинус кута між двома прямими: та

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (7, 1, -3) паралельно прямій .

  7. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно до площини 3х + 2у – z – 5 = 0.

  8. Знайти точку, симетричну точці А (4, 3, 10) відносно даної прямої .

  9. Знайти відстань від початку координат до прямої .

  10. Дано три вершини трикутника: А (2, -1, -3), В (5, 2, -7), С (-7, 11, 6). Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.

Варіант 16

  1. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через дві дані точки: А (0; 0; 1), В (0; 1; -2).

  2. Написати параметричні рівняння прямої

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно осі Оz.

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і

  5. Визначити косинус кута між прямими: і

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-3, 1, 0) паралельно прямій

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі: і

  8. Знайти точку В, симетричну даній точці Р (1, 3, -4) відносно площини 3х + у – 2z = 0.

  9. Знайти відстань між прямими і .

  10. Дано три вершини трикутника: А (1, -2, -4), В (3, 1, -3), С (5, 1, -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, опущеної з вершини В на протилежну сторону.

Варіант 17

    1. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку Мо (2, -5, 8) перпендикулярно площині 3х + 4у – 7z – 6 = 0.

    2. Знайти точку перетину площини 5х – 3у + 2z – 30 = 0 з віссю Ох.

    3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки: М (0, -2, 3), Р (3, -2, 1).

    4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і

    5. Знайти кут між прямою та площиною 4х +2у + 2z – 5 = 0.

    6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через початок координат і перетинає прямі і .

    7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (3, 1, -2) і через пряму .

    8. Знайти проекцію точки Р (5, 2, -1) на площину 2х – у + 3z + 23 = 0.

    9. Знайти відстань між прямими і

    10. Дано три вершини трикутника: А(4, 1, -2), В(2, 0, 0), Р(-2, 3, -5). Скласти рівняння його висоти, яка проведена з вершини В.

Варіант 18

  1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -3, 0,5) і паралельна вектору = (2, 1, -3).

  2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -1, -3) паралельно прямій .

  3. Скласти канонічні рівняння прямої

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і

  5. Знайти гострий кут між прямими 4х – 2у – 7 = 0 і .

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-4, -5, 3) та перетинає дві прямі та

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі і .

  8. Знайти точку В, симетричну даній точці Р (2, -5, 7) відносно прямої, яка проходить через точки А (5, 4, 6) і С (-2, -17, -8).

  9. Знайти відстань точки Р (7, 9, 7) від прямої .

  10. Дано вершини трикутної піраміди А (1, 2, -1), В (3, 4, 5), С (-2, 1, 3), К (0, 3, 6). Скласти рівняння її ребер.

Варіант 19

  1. Визначити, при якому значенні D пряма перетинає вісь Оz.

  2. Знайти точку А перетину прямої і площини 2х – у + z + 4 = 0.

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки: М (1, 2, -4), К (-1, 2, -4).

  4. Дослідити взаємне розміщення прямих: і

  5. Знайти кут між прямими і .

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-2, 3, 4) перпендикулярно до площини 7х – 3у + 9z – 13 = 0.

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (4, -3, 1) і паралельна прямим і .

  8. Знайти точку В, симетричну даній точці А (4, 1, 6) відносно даної прямої

  9. Знайти відстань між двома паралельними прямими і .

  10. Дано три вершини трикутника: А (4, 1, -2), В (2, 0, 0), С (-2, 3, -5). Скласти рівняння бісектриси кута А.

Варіант 20

  1. Скласти рівняння прямої, яка з’єднує точки М (1, 1, 0) і Р (1, 1, 1).

  2. Знайти точку перетину прямої з площиною 2х + 3у – z – 6 = 0.

  3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки: М (3, -1, 0), В (1, 0, -3).

  4. Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і

  5. Знайти кут між двома прямими і

  6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (3, 2, 1) перпендикулярно до площини х + у – 2z – 6 = 0.

  7. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму і паралельна прямій .

  8. Знайти проекцію точки Р (2, -1, 3) на пряму

  9. Знайти відстань між прямими і .

  10. Дано три вершини трикутника: А (4, 1, -2), В (2, 0, 0), С (-2, 3, -5). Скласти рівняння його висоти, опущеної з вершини В на протилежну сторону.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности