Задачі до практичних занять. Види рівнянь прямої у просторі. Основні метричні задачі на пряму у просторі.

1. Скласти рівняння прямих, що утворені перетином площини 5х – 7y + 2z – 3 = 0 з координатними площинами.

2. Знайти точки перетину прямої з координатними площинами.

3. Визначити, при якому значення D пряма перетинає: 1)вісь Ох; 2)вісь Оу; 3)вісь Oz..

4. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М_о(1, -2, 3), паралельно: 1) вектору (4, 5, -7); 2)осі ОХ; 3)осі ОY; 4)осі OZ.

5. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М_о(-1, 3, -9) перпендикулярно: 1)площині 3х – 4у + 5z – 1 = 0; 2)площині ОYZ; 3)площині OXZ; 4)площині OXY.

6. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М_о(2, 5, -8) паралельно: 1)прямій ; 2)прямій .

7. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М_о(10, -12, 15) паралельно: 1)прямій ; 2)прямій .

8. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М(2; 0; -3) паралельно: 1)вектору (2; -3; 5); 2)прямій ; 3)осі Ох; 4)осі Оу; 5)осі Oz.

9. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через дві дані точки:

1)(1; -2; 1), (3; 1; -1); 2)(3; -1; 0), (1; 0; -3);

3)(0; -2; 3), (3; -2; 1); 4)(1; 2; -4), (-1, 2, -4);

10. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М(1; -1; -3) паралельно: 1)вектору (2; -3; 4); 2)прямій ; 3)прямій .

11. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через дві дані точки: 1)(3; -1; 2), (2; 1; 1); 2) (1; 1; -2), (3; -1; 0); 3) (0; 0; 1), (0; 1; -2).

12. Дано трикутник з вершинами А(4, -5, 7), В(3, 2, -1), С(-6, 8, 10). Записати рівняння прямих, на яких лежать його сторони.

13. Три послідовні вершини паралелограма знаходяться у точках А(9, -3, 2), В(4, -2, 8), С(-7, -5, 6). Записати рівняння його діагоналей.

14. Дано вершини трикутника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3) та С(4; -7; -2). Скласти параметричні рівняння його медіани, що проведена з вершини С.

15. Дано вершини трикутника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3) та С(5; 1; -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, що опущена з вершини В на протилежну сторону.

16. Скласти канонічні рівняння наступних прямих:

1) 2) 3)

17. Скласти параметричні рівняння наступних прямих:

1) 2)

18. Знайти гострий кут між прямими:

19. Визначити косинус кута між прямими:

20. Знайти косинус кута між двома прямими:

1) та

2) та

3) та

4) та

21. Скласти рівняння прямої, що проведена через точку М (1, 3, -4) перпендикулярно до двох прямих:

22. Знайти відстань від точки М(2, -3, 5) до кожної з наступних прямих:

1) 2)

23. Знайти відстань між паралельними прямими: 1) та

2) та

24. Знайти відстань між двома прямими: 1) та ;

2) та

25. Знайти найкоротшу відстань між діагоналлю куба та діагоналлю грані, що її не перетинає, якщо ребро куба дорівнює а.

26. Дано прямі та . При якому значенні вони перетинаються?

27. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(-1; 2; -3) перпендикулярно вектору (6; -2; -3) і перетинає пряму .

Відповіді.

1. 

2. (2, -1, 0), , (0, 2, -1).

3. 1) D = -4, 2) D = 9, 3) D = 3.

4. 1) 2)

5. 1)

7. 1) 2)

8. 1) 2) 3)

4) 5)

9. 1) 2) 3)

4)

10. 1) 2) 3)

11. 1) 2) 3)

12.

13. АС:

14.

15.

16. 1) 2) 3)

17. 1) 2)

18. 60⁰

19. cos  = ±

20. 1) cos  = 0; 2) cos  = ; 3) cos  = 1; 4) cos  = .

21.

22. 1) ; 2) ;

23. 1) ; 2) ;

24. 1) ; 2) ;

25. .

26.

27.