
- •Пряма у просторі. Короткі теоретичні відомості. Пряма та її рівняння. Різні способи задання прямої в афінній системі координат.
- •Взаємне розташування двох прямих у просторі.
- •Знаходження відстані від точки до прямої.
- •Знаходження відстані між двома мимобіжними прямими.
- •Кут між двома прямими.
- •Взаємне розташування прямої та площини
- •Знаходження кута між прямою та площиною.
- •Питання для самоперевірки.
- •Методичні рекомендації до розв’язування задач.
- •Задачі до практичних занять. Види рівнянь прямої у просторі. Основні метричні задачі на пряму у просторі.
- •Задачі до практичних занять. Змішані задачі, що відносяться до рівняння площини та рівняння прямої.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •Відповіді
- •Література
Методичні рекомендації до розв’язування задач.
Приклад 1. Скласти параметричні та канонічні рівняння прямої, що проходить через точку Мо (2, -5, 8) перпендикулярно площині 3х + 4у – 7z – 6 = 0.
Розв'язання.
В
якості направляючого вектора
прямої
можна взяти нормальний
вектор
(3,
4, -7) даної
площини. Отримуємо х
= 2 +
3t,
у
= -5
+ 4t,
z
= 8 – 7t. Виключаючи
з цих рівнянь параметр t,
отримуємо
канонічні рівняння даної прямої:
Відповідь.
Приклад 2. Дано трикутник з вершинами А(1, 4, -5), В(-3, 6, 9), С(5, 6, 7). Скласти рівняння прямої, на якій лежить медіана, що проведена з вершини В.
Розв'язання.
Знаходимо
середину відрізка АС
–
точку D(3,
5, 1).
Задача зводиться
до знаходження прямої по двом точкам
В
та D.
Отримаємо
або
.
Відповідь.
.
Приклад
3.
Знайти
відстань між двома мимобіжними
прямими:
та
Розв'язання.
Перша
пряма походить через точку М1
(3,
-4, 5) та
має
направляючий
вектор
(1,
2, -2),
друга проходить через точку М2
(4,
-2, 6)
та має
направляючий вектор
(8,
6, 4).
Звідси
знайдемо
Відповідь. d =1.
Рис.
6.29
Приклад 4. Дослідити взаємне розміщення таких пар прямих:
А)
і
;
Б)
і
;
Розв'язання.
А)
Випишемо координати направляючих
векторів даних прямих:
(3,
2, -3),
(2,
-1, 3).
Перевіримо умову
:
– дана
умова не виконана, тому прямі або
перетинаються, або мимобіжні. Перевіримо,
яка умова виконується. Маємо: М1(3,
-1, 1), М2(5;
-2,
4);
(2;
-1, 3).
Отже,
виконується умова
,
тому
прямі перетинаються.
Б) У
цьому випадку направляючі вектори такі:
(2;
3;
-1),
(4;
3;
2).
Оскільки відповідні координати цих
векторів непропорційні, то
прямі не паралельні.
Тоді: М1(1,
-2, 0); М2(1,
5, -1);
(0,
7, -1);
Отже,
прямі мимобіжні.
Відповідь. А) прямі перетинаються; Б) прямі мимобіжні.
Приклад
5.
Знайти кут між прямою
та площиною 2х
+ 2у – 4z – 3 = 0.
Розв'язання.
Скористаємося
формулою sin
де α
= 2, β = -1, γ = -1, А = 2, В = 2, С = -4,
отримаємо:
sin
,
=300
Відповідь. =300
Приклад
6.
Перевірити,
чи лежать прямі
та
в одній площині.
Розв'язання. Зведемо рівняння заданих прямих l1 та l2 до канонічного вигляду, для чого знайдемо по одній точці на прямих і направляючі вектори цих прямих.
l1:
Нехай
z
= 0,
тоді:
Тобто
точка Ml
(-1,
3, 0)
належить прямій l1.
Далі знайдемо направляючий вектор
прямої
l1.
=
, де
(2,
0, -3) –
нормальний вектор площини 2х
-3z + 2 = 0,
а
(0,
2, -1) –
нормальний вектор площини
Отже,
;
(6,
2, 4).
Значить, канонічне рівняння прямої l1
буде таким:
або
.
Аналогічно зведемо рівняння прямої l2 до канонічного вигляду:
l2:
Нехай
z
= 0,
тоді:
Тобто точка M2 (-49, -37, 0) належить прямій l2. Далі знайдемо направляючий вектор прямої l2.
=
, де
– нормальний вектор площини
,
а
– нормальний вектор площини
Отже,
Тобто
(48,
37, 4)
– направляючий вектор прямої l2,
і її рівняння буде мати вигляд:
.
Тепер
перевіримо, чи лежать задані прямі в
одній площині. Оскільки
(
),
тоді досить перевірити вектори
на
компланарність. Для цього обчислюємо:
Отже,
вектори
–
компланарні, а значить, прямі l1
та l2
лежать в одній площині.
Відповідь. Прямі l1 та l2 лежать в одній площині.
Приклад
7.
Скласти
рівняння площини, що проходить
через точку M1(4,
-3, 1)
паралельно
прямим
та
Розв'язання. Рівняння будь-якої площини, що проходить через дану точку М1 (4; -3; 1), має вид: А(х – 4) + В(у + 3) + C(z – 1) = 0.
Шукана площина паралельна даним прямим, тому, застосовуючи умову
паралельності прямої та площини, матимемо:
та
→
Отримаємо 16х -27 у + 14z – 159 = 0.
Відповідь. 16х -27 у + 14z – 159 = 0.
Приклад 8. Знайти проекцію точки А(1; -3; 2) на площину 6x + 3y – z – 4l = 0.
Розв'язання. Проекцією даної точки на площину є точка перетину прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній площині, з цією площиною.
Рівняння
перпендикуляра будемо шукати у вигляді:
,
де
координати направляючого вектора
знайдемо з
умови перпендикулярності прямої та
площини
чи
Отже,
.
Знайдемо точку перетину прямої з площиною:
,
звідки
.
Підставивши
ці значення х,
у та
z у
рівняння
площини, знайдемо параметр t:
6(6t +1) + 3(3t – 3) – (-t + 2) – 41 = 0,
t = 1.
Знаючи параметр t, знайдемо проекцію точки А(1; -3; 2) на площину 6х + 3у – z – 41 = 0, ця точка А1 (7; 0; 1).
Відповідь. А1 (7; 0; 1).
Приклад
9.
Скласти
канонічні рівняння прямої, що лежить у
площині xOz,
проходить
через початок координат та перпендикулярна
до прямої
Розв'язання.
Згідно
умові, пряма проходить через початок
координат, тому її канонічні
рівняння мають вид:
.
Так
як пряма лежить у площині xOz,
то
β
=
0. З
умови перпендикулярності прямих
слідує, що 3α
+ γ
= 0,
звідки γ
=
-3α
. Підставимо у рівняння
та
скоротимо на α, отримаємо рівняння
прямої:
або
.
Відповідь.
.
Приклад
10.
Скласти
рівняння площини, яка проходить через:
А) пряму
і
точку М
(2, 0, 1);
Б) дві паралельні прямі
та
Розв'язання. А) Рівняння площини, яка проходить через точку М (2, 0, 1) має вигляд: А(х – 2) + Ву + C(z – 1) = 0.
Направляючий
вектор прямої
(1,
2, -1)
і
нормальний вектор площини
(А,
В, С)
перпендикулярні,
значить, їх скалярний добуток дорівнює
0.
А + 2В – С = 0.
Точка А(1, -1, -1) лежить на прямій, а значить, і на площині, тобто її координати задовольняють рівняння площини:
А (1 - 2) + (-1) + С (-1 – 1) = 0, або -А – В – 2С = 0.
Значить, А = -5С, В = 3С. Звідси шукане рівняння площини має вигляд:
(–5 (х – 2) + 3у + z – 1) С = 0, або 5х – 3у – z – 9 = 0.
Б) Взявши на одній з прямих точку, наприклад, на першій прямій точку М(1, 0 -2), отримуємо задачу, аналогічну з пунктом А). Шукана площина має рівняння 3х – 2у – 3 = 0.
Відповідь. А) 5х – 3у – z – 9 = 0; Б) 3х – 2у – 3 = 0.