Взаємне розташування прямої та площини

Нехай маємо пряму і площину Ах + By + Cz + D = 0

Точка M₀(x₀, y₀, z₀) належить прямій, вектор (a_1, a₂, a₃) – направляючий вектор прямої, вектор (А, В, С) – вектор нормалі площини. Можливі три випадки взаємного розташування прямої та площини:

1. Пряма належить площині. Тоді повинні виконуватись наступні умови: Аа₁ + Ва₂ + Са₃ = 0 і Ах₀ + Ву₀ + Cz₀ + D = 0.

2. Пряма паралельна до площини. Тоді повинні виконуватись наступні умови:

Аа₁ + Ва₂ + Са₃ = 0 і

Ax_o + By_o + Cz_o + D ≠ 0.

3. Пряма перетинає площину. Повинна виконуватись умова Аа₁ + Ва₂ + Са₃ ≠ 0.

Взаємне розташування площини та прямої, що

задана загальними рівняннями.

Нехай пряма l задана наступними рівняннями а площина π – загальним рівнянням Ах + By + Cz + D = 0. Позначимо через R та r відповідно ранги матриць:

а) Для того щоб пряма l та площина π перетинались, необхідно і достатньо, щоб R = r = 3.

б) Для того щоб пряма l була паралельна площині π, необхідно і достатньо, щоб r = 2, R = 3.

в) Для того щоб пряма l лежала у площині π, необхідно і достатньо, щоб R = r = 2.

Знаходження кута між прямою та площиною.

Я кщо пряма l не перпендикулярна до площини π, то кутом між прямою та площиною називається кут між прямою цією прямою та її проекцією на дану площину.

Якщо у прямокутній декартовій системі координат задана площина π рівнянням Ах + By + Cz + D = 0, а пряма l канонічними рівняннями , тоді нормальним вектором площини  буде вектор (А, В, С), направляючим вектором прямої l – вектор (т, п, р).

Синус кута між прямою l та площиною π знаходиться за формулою sin 

Пряма l і площина π будуть паралельними тоді і тільки тоді, коли нормальний вектор площини і направляючий вектор прямої перпендикулярні, тобто їх скалярний добуток або = 0.

А для того щоб пряма l була перпендикулярна до площини π, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці був рівний одиниці, тобто.

Питання для самоперевірки.

1. Які ви знаєте способи задання прямої у просторі?

2. Що називається направляючим вектором прямої?

3. Як знайти відстань від точки до прямої?

4. За якою формулою ми можемо знайти відстань між двома паралельними (мимобіжними) прямими?

5. Назвіть умови, за яких дві прямі мимобіжні.

6. Скласти векторні параметричні рівняння прямої, яка задана в просторі точкою і направляючим вектором.

7. Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої в просторі і рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

8. Написати загальні рівняння прямої. Як перейти від загальних рівнянь прямої до канонічних?

9. Як знайти кут між двома прямими в просторі? Написати умови паралельності і перпендикулярності прямих.

10. Як визначити взаємне розташування площини та прямої, що задана точкою та направляючим вектором (канонічними рівняннями)?

11. Як знайти кут між прямою та площиною? Які умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини?

12. Довести, що умову, за якої дві прямі і лежать в одній площині, можна записати у вигляді: .

13. Довести, що рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно прямій можна записати у вигляді: .