Тема 2.4. Геометрия масс. Центр масс механической системы

Пример 6.

Определить уравнения движения и траекторию центра масс кривошипно-шатунного механизма. Кривошип равномерно вращается вокруг оси с угловой скоростью . Кривошип и шатун — однородные стержни одинаковой длины , их массы , масса ползуна (рис. 6, а).

Решение. Координаты центра масс (рис. 4, б) механизма

;

К

Рисунок 6, а, б

оординаты центров масс звеньев в системе

, , .

, , .

С учетом значений заданных масс

; .

Траектория центра масс — эллипс .

Тема 2.7. Теорема Гюйгенса-Штейнера.

Пример 7.

Вычислить момент инерции однородного стержня длины и массы относительно оси, проходящей через конец стержня.

Р

Рисунок 7

ешение. Момент инерции стержня относительно оси (рис. 7) . Момент инерции стержня относительно параллельной оси, проходящей через конец стержня, по теореме Гюйгенса-Штейнера .

Тема 3.7. Теорема о движении центра масс системы

Пример 8.

К концу троса, навитого на барабан, подвешен груз массы . Барабан массы может вращаться вокруг горизонтальной оси. Определить реакцию оси, если груз начнет двигаться с постоянным ускорением (рис. 8, а).

Р

Рисунок 8, а, б

ешение. Покажем внешние силы — вес барабана , вес груза , реакцию оси (рис. 8, б). Запишем теорему о движении центра масс механической системы: . Выберем начало оси в точке и направим ее вниз. Спроектируем векторное равенство на эту ось: . Отсюда . Запишем координату центра масс: , т.к. , а . Продифференцируем дважды, определим ускорение центра масс: . Тогда .

Ответ.

Пример 9.

Призма массы покоится на гладкой горизонтальной плоскости. По наклонной плоскости призмы из состояния покоя начинает перемещаться груз массы . Пренебрегая размерами груза, определить перемещение призмы, когда он переместится на расстояние ; (рис. 9, а).

Р

Рисунок 9, а, б

ешение. Внешние силы, действующие на систему: вес призмы, вес груза и нормальная реакция плоскости (рис. 9, б).

Теорема о движении центра масс . Так как (все силы перпендикулярны оси ), то на основании формулы (3.4) , где . .

Ответ: призма переместится влево на .

Тема 4.3 Импульс силы

Пример 10.

На материальную точку действует сила . Определить импульс силы за время .

Решение. Проекции силы на оси координат , F_y = 6; . Проекции импульса силы на оси , ,

Модуль импульса силы ..

Ответ.

Тема 4.4 Теорема об изменении количества движения материальной точки

Пример 11.

Т

Рисунок 11

очка массы движется горизонтально под действием силы в среде, сопротивление которой определяется силой , где . Какую скорость приобретет точка за время , если движение началось без начальной скорости?

Решение. Применим теорему об изменении материальной точки в дифференциальной форме в проекции на ось . Покажем силы и (рис. 11).

;

.

Ответ.

Пример 12.

М

Рисунок 12, а, б

атериальная точка массы движется по окружности с постоянной скоростью из точки (рис. 12, а). Определить импульс сил, действующих на точку, за время, в течение которого точка пройдет — длины окружности.

Решение. Применим теорему об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме . Найдем проекции импульса на оси координат (рис. 12, б):

; .

Импульс сил .

Ответ. .