2.2.4. Автозаправка

Вдоль кольцевой дороги расположено m городов, в каждом из которых есть автозаправочная станция. Известна стоимость Z[i] заправки в городе с номером i и стоимость C[i] проезда по дороге, соединяющей i - й и (i+1)-й города, C[m] - стоимость проезда между первым и m-м городами. Для жителей каждого города определить город, в который им необходимо съездить, чтобы заправиться самым дешевым образом, и направление - «по часовой стрелке» или «против часовой стрелки», города пронумерованы по часовой стрелке.

Не будем рассматривать переборный вариант решения задачи, суть которого в проверке всех 2*m вариантов для жителей каждого города, итого - 2*m*m проверок. Введем два дополнительных массива

On, Ag: array[1..m] of record wh, qh:integer; end; .

On[i] означает, где следует заправляться (wh) и стоимость заправки (qh) жителям i-го города, если движение разрешено только по часовой стрелке. В этом случае жители города i имеют две альтернативы: либо заправляться у себя в городе, либо ехать по часовой стрелке. Во втором случае жителям города i надо заправляться там же, где и жителям города i+1, или в первом, если i=m. Итак, On[i]=min{Z[i],C[i]+On[i+1].qh}. Откуда известно значение On[i+1].qh? Необходимо найти город j с минимальной стоимостью заправки - On[j]:=(j,Z[j]). После этого можно последовательно вычислять значения On[j-1], On[j-2], ..., On[j+1]. Аналогичные действия необходимо выполнить при формировании массива Ag[i], после этого для жителей каждого города i следует выбрать лучший из On[i].qh и Ag[i].qh вариант заправки.

2.2.5. Алгоритм Нудельмана-Вунша

Пример из молекулярной биологии. Молекулы ДНК, содержащие генетическую информацию - это длинные слова из четырех букв (А, Г, Ц, Т). В процессе эволюции, в результате мутаций, последовательности меняются, одна буква может замениться на другую, выпасть, а может добавиться новая. Насколько похожи два фрагмента, каким наименьшим числом превращений можно один из них получить из другого? Формулировка задачи. Даны два слова (длины M и N), состоящие из букв А, Г, Ц, Т. Найти подпоследовательность наибольшей длины, входящую в то и другое слово.

Пример. Слова ГЦАТАГГТЦ и АГЦААТГГТ. Схема решения иллюстрируется следующим рисунком.

На рисунке закрашены клетки, в строке и в столбце которых находятся одинаковые буквы. Принцип заполнения таблицы W следующий: элемент W[i,j] равен наибольшему из чисел W[i-1,j], W[i,j-1], а если клетка <i,j> закрашена, то и W[i-1,j-1]+1. Формирование первой строки и первого столбца выполняется до заполнения таблицы и осуществляется так: единицей отмечается первое совпадение, затем эта единица автоматически заносится во все оставшиеся клетки. Например, W[3,1] - первое совпадение в столбце, затем эта единица идет по первому столбцу. Подпоследовательность формируется при обратном просмотре заполненной таблицы от клетки, помеченной максимальным значением. Путь - это клетки с метками, отличающимися на единицу, буквы из закрашенных клеток выписываются. Последовательность этих букв - ответ задачи. Для нашего примера две подпоследовательности: ГЦААГГТ и ГЦАТГГТ.

Фрагмент основной логики.

...

for i:=1 to Length(S1) do

for j:=1 to Length(S2) do begin

A[i,j]:=Max(A[i-1,j],A[i,j-1]);

if S1[i]=S2[j] then A[i,j]:=Max(A[i,j],A[i-1,j-1]+1);

end;

Writeln(‘Ответ: ’,A[Length(S1),Length(S2)]);

....