2.2.2. Треугольник

На рисунке изображен треугольник из чисел. Напишите программу, которая вычисляет наибольшую сумму чисел, расположенных на пути, начинающемся в верхней точке треугольника и заканчивающемся на основании треугольника.

				7
			3		8
		8		1		0
	2		7		4		4
4		5		2		6		5

• Каждый шаг на пути может осуществляться вниз по диагонали влево или вниз по диагонали вправо.

• Число строк в треугольнике > 1 и <100.

• Треугольник составлен из целых чисел от 0 до 99.

  Рассмотрим идею решения на примере, приведенном в тексте задачи. Входные данные запишем в матрицу D. Она, для примера, имеет вид:

7 0 0 0 0

3 8 0 0 0

8 1 0 0 0

2 7 4 4 0

4 5 2 6 5

Будем вычислять матрицу R:array[1..MaxN,0..MaxN+1] следующим образом, предварительно обнулив ее элементы:

R[1,1]=D[1,1]

R[i,j]=max(D[i,j]+R[i-1,j],D[i,j]+R[i-1,j-1])

для i=2..N; j=1..i.

Ее вид:

0 7

0 10 15

0 18 16 15

0 20 25 20 19

0 24 30 27 26 24

Осталось найти наибольшее значение в последней строке матрицы R. Итак, в решении задачи используются идеи метода динамического программирования.

2.2.3 Степень числа

Даны два натуральных числа n и k. Требуется определить выражение, которое вычисляет kⁿ . Разрешается использовать операции умножения и возведения в степень, круглыми скобками и переменной с именем k.Умножение считается одной операцией, возведению в степень q соответствует q-1 операция. Найти минимальное количество операций, необходимое для возведения в степень n. Желательно сделать это для как можно больших значений n.

Пример. При n=5 необходимо три операции - (k*k)²*k.

Определим массив Op, его элемент Op[i] предназначен для хранения минимального количества операции при возведении в степень i (Op[1]=0). Для вычисления выражения, дающего n-ю степень числа k, арифметические операции применяют в некоторой последовательности, согласно приоритетам и расставленным скобкам. Рассмотрим последнюю примененную операцию.

Если это было умножение, тогда сомножителями являются натуральные степени числа k, которые в сумме дают n. Степень каждого из сомножителей меньше n, и ранее вычислено, за какое минимальное число операций ее можно получить. Итак:

opn1:=min{по всем p:1£p<n, Op[p]+Op[n-p]+1}.

Если это возведение в степень:

opn2:=min{ для всех p (¹1) - делителей n, Op[n div p]+p-1}.

Результат - Op[n]=min(opn1,opn2). Фрагмент реализации:

......

Op[1]:=0;

for n:=2 to ???? do begin

opn:=n;{opn - рабочая переменная}

for p:=1 to n-1 do begin

opn:=Min(opn,Op[p]+Op[n-p]+1);{Min - функция поиска минимума двух чисел}

if (n mod p=0) and (p<>1) then opn:=Min(opn,Op[n div p]+p-1);

end;

Op[n]:=opn;

end;

....