10. Два подхода в минимизации систем булевых функций

Существует два подхода в минимизации систем булевых функций:

- минимизация каждой функции в отдельности;

- совместная минимизация функций системы.

Рассмотрим первое направление. Если произвести минимизацию булевых функций, входящих в систему, независимо друг от друга, то общая схема будет состоять из изолированных подсхем. Ее можно иногда упростить за счет объединения участков подсхем, реализующих одинаковые члены, входящие в несколько булевых функций системы.

Пусть в результате минимизации функций получены следующие МДНФ:

На рис. 2.57 показана реализация системы функций без учета общих частей (термов). Аппаратурные затраты по критерию Квайна без учета инверсий для данной реализации составляют C_b = 18.

На рис. 2.58 показана реализация системы функций с объединением общих частей . Аппаратурные затраты по критерию Квайна без учета инверсий для данной реализации составляют C_b = 14.Очевидно, что данная реализация является более простой (экономичной).

Рисунок 2.57 – Реализация системы функций без учета общих частей

Рисунок 2.58 – Реализация система функций с объединением общих частей

Данный метод не всегда эффективен. Ниже это будет проиллюстрировано примером.

Рассмотрим второе направление. Существуют различные методы, в данном случае предлагается метод минимизации системы булевых функций, являющийся модификацией метода Квайна-Мак-Класки. Алгоритм минимизации следующий. (Для КНФ алгоритм аналогичен).

1. Выписать все минтермы функций (можно в кубической форме), входящие в систему. Каждому минтерму присвоить признак, содержащий номера функций системы, в которые входит рассматриваемый минтерм, например, минтерм 0 (f₁, f₃) 0000, минтерм 15 (f₁) 1111.

2. Выполнить склеивание как в методе Квайна-Мак-Класки. Если признаки склеиваемых элементарных произведений (минтермов и далее импликант) не содержат общих номеров, склеивание не выполняется, поскольку эти элементарные произведения не относятся к одной функции. Результату склеивания (импликантам) присваивать признак, состоящий из номеров функций, общих для двух склеиваемых минтермов или импликант. Не участвовавшие в склеивании импликанты и минтермы являются простыми импликантами и все они составляют сокращенную ДНФ системы, записываемой в виде функции .

3. Построить таблицу покрытий функции , как в методе Квайна-Мак-Класки, с той лишь разницей, что для каждого минтерма выделяется столько столбцов, сколько различных номеров функций содержит его признак. Далее все аналогично, строится минимальная форма функции .

4. Произвести получение выражений МДНФ для каждой функции системы по функции .

Замечание. Если функция не полностью определена, наборы, на которых она не определена, должны участвовать в склеивании, но в таблицу покрытий не вносятся.

Рассмотрим пример. Пусть дана система булевых функций (табл. 2.8). Найдем МДНФ системы булевых функций.

Таблица 2.8 – Таблица истинности системы булевых функций

0 0 0	1 1
0 0 1	0 0
0 1 0	0 1
0 1 1	0 1
1 0 0	0 0
1 0 1	1 1
1 1 0	1 0
1 1 1	1 0

Выполняем склеивания.

0-кубы		1-кубы
0 – 000 (f1, f2)	v	0 (f1, f2)  2 (f2) = 0х0 (f2)
2 – 010 (f2)	v	2 (f2)  3 (f2) = 01х (f2)
3 – 011 (f2)	v	2 (f2) 6 (f1) нельзя
5 – 101 (f1, f2)	v	3 (f2)  7 (f1) нельзя
6 – 110 (f1)	v	5 (f1, f2)  7 (f1) = 1х1 (f1)
7 – 111 (f1)	v	6 (f1)  7 (f1) = 11х (f1)

В склеивании не участвовали все 1-кубы и два 0-куба 000 (f₁) и 101 (f₂). Это простые импликанты. Они составляют сокращенную ДНФ функции . Все они войдут в таблицу покрытий.

Строим таблицу покрытий (табл. 2.9)

Таблица 2.9 – Таблица покрытий

Простые импликанты		Минтермы функции
		000		010	011	101		110	111
		f1	f2	f2	f2	f1	f2	f1	f1
A	0x0 (f2)		v	v
B	01x (f2)			v	v
C	1x1 (f1)					v			v
D	11x (f1)							v	v
E	000 (f1, f2)	v	v
F	101 (f1, f2)					v	v

Ядро функции составляют простые импликанты B, D, E, F. Остальные импликанты являются лишними и не будут входить в тупиковую и минимальную ДНФ. Т.е. МДНФ функции будет состоять только из ядра.

МДНФ : .

По МДНФ функции строим МДНФ и МДНФ .

МДНФ : .

МДНФ : .

Аппаратурные затраты по критерию Квайна без учета инверсий и с учетом объединения общих частей выражения () составляют C_b =16.

Попробуем для минимизации рассмотренной системы воспользоваться первым подходом, предполагающим минимизацию каждой функции отдельно.

Карта Карно для функции представлена на рис. 2.59

Рисунок 2.59 – Карта Карно для функции

Карта Карно для функции представлена на рис. 2.60

МДНФ : .

Рисунок 2.60 – Карта Карно для функции

МДНФ : .

Общих частей у МДНФ функций нет, в результате аппаратурные затраты по критерию Квайна без учета инверсий составляют C_b =20. По оценке аппаратурных затрат видно, что раздельная минимизация функций системы уступает совместной, хотя последняя является более трудоемкой.