1. Незміщенність

назив. незміщенною оцінкою θ, якщо: М = θ (відсутня систематична похибка)

≠ θ, назив. зміщенною оцінкою θ

Вибіркова дисперсія є зміщенною оцінкою теоретичної дисперсії D, а виправлена незміщенною M = D

2. спроможність («состоятельность»)(конзистенність)

, якщо для будь-якого ε>0:

3. Ефективність

Серед усіх незміщенних спроможних оцінок ефективною буде та, що має найменшу дисерсію.

Вибіркове середнє є незміщенною спроможною ефективною асимптотичною нормальною оцінкою матем.сподівання ознаки ГС.

Тема 12. Методи моментів і максимальної правдоподібності. Надійні інтервали.

Метод моментів полягає у прирівнянні відповідних емпіричних і теоретичних моментів.

Метод максимальної подібності полягає у побудові функції правдободібності, що залежить від невідомого параметра та знаходження точки мах цієї функції.

Нехай =()

— вибірка з генеральної сукупності з розподілом де =(1, 2, …, s), Припустимо, що у випадковій величині , що спостерігається, є перші s моментів При цьому вони є функціями від невідомих параметрів : Нехай — реалізація вибірки . Значення оцінок параметрів за методом моментів знаходиться в результаті розв’язку системи рівнянь:

Оцінки, знайдені методом моментів, як правило, спроможні, але часто неефективні.

Нехай спостерігається випадковий вектор =(1, 2, …, n) з щільністю і Оцінкою максимальної правдоподібності називається така точка множини , в якій функція правдоподібності при заданому X набуває максимального значення. Тобто

У багатьох випадках знаходять причому максимум досягається в тих же точках, що і

Якщо для кожного X з вибіркового простору Rn максимум досягається у внутрішній точці і функція диференційована за , то оцінка при заданій реалізації вектора  задовольняє систему рівнянь:

або

Останні рівняння називаються рівняннями правдоподібності.

Якщо для параметра  існує достатня статистика T(X), то розв’язок рівнянь правдоподібності є функцією від достатньої статистики.

Нехай  — скалярний параметр. Якщо для параметра  існує ефективна незміщена оцінка, то вона збігається з оцінкою максимальної правдоподібності.

L(x,- функція правдоподібності

L(x,= p(

НВВ: p(x, розподіл ДВВ

ДВВ:p(x,Розподіл НВВ, щільність

Для знаходження максимальной подібності:

lnL(x,= ∑ln p (max , знайдемо кр.т.

кр.т.

=оцінка максимальної правдоподібності.

Інтервальні статистичні оцінки невідомих параметрів ГС (надійні інтервали)

Нехай відома точкова оцінка невідомого параметра θ розподілу ознаки ГС.

Точністю оцінки назив. число δ>0 таке, що викон. | - θ|<δ

Надійністю оцінки невідомого параметра θ назив. ймовірність γ така що:

γ = Р {| - θ|<δ}

Зауважимо, що Р {| - θ|<δ} = Р {θ €()} = γ

Невідомий параметр θ попадає в надійний інтервал () з надійністю γ.

Традиційно γ обирають 0,95 або 0,99.

Надійний інтервал будують за відомою точковою оцінкою її законом розподілу та вибраною надійність γ.

Точність δ визначають за законом розподілу та γ.

Надійний інтервал для невідомого параметра λ розподілу Пуассона:

=

λ € ( - + )

γ = 1-α

α – рівень значущості

α(0,05; 0,10)

- коефіцієнт нормального розподілу, що відповідає надійності γ = 1-α

(табл..4)

Надійні інтервали для невідомих параметрів нормального розподілу

параметр	припущення	Точкова оцінка	Розподіл точк.оц.	Над.інтервал
A	– відомо		N(a, )	)
A	- не відомо		Розподіл Стюдента з k=n-1 ступенями свободи	)
	а – відомо		- розподіл з k=n ступ.свободи	()
	а – не відомо		- розподіл з k=n ступ.свободи

Зауваження: коефіціент норм. розподілу, який є розв’язком рівняння: 2Φ() = γ

Φ – функція Лапласа

- коефіціент розподілу Стюдента з k ступенями свободи (табл. 6)

, – коеф. розподілу з k ступенями свободи