5. Ймовірності в дискретних просторах елементарних подій.

Простір Ω елементарних подій називається дискретним, якщо множина Ω скінченна або зліченна.

Нехай простір елементарних подій Ω = {w1, .., wn, …} дискретний. Кожній елементарній події wі можна поставити у відповідність невід'ємне число рі.

0≤рі≤1 Σ pі=1

Р(А)= Σ рі, де Р(А) назив. ймовірність події А

Властивості:

1. 0≤Р(А)≤1

2. P(Ω) = Σ pі =1

3. А, В А∩В=ø

Р(АUВ) = Σ рі = Σ рі+ Σ рі=Р(А)+Р(А)

4. Частотне та класичне означення ймовірності.

Статистичне (частотне) означення ймовірності: нехай Ω - простір ЕП. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка спостерігається на ньому. Повторимо цей експеримент n разів. Позначимо через (А) число експерт, в яких відбулася подія А. Частотою події А назив. відношення . Частота може бути обчислена лише після того, як проведена певна к-сть експериментів

Класичне означення ймовірності: Нехай Ω склад. з n – елемнтарних, рівноможливих подій р(ω)= . До складу події А входить n цих подій. Тоді ймовірність події А:

5. Елементи комбінаторики.

Основний принцип комбінаторики (правило множення). Нехай треба поcлідовно виконати k дій. Першу можна виконати n1 способами, другу — n2 способами, третю — n3 способами і т. д. Всі k дій може бути виконано n1 ... n2…nk способами.

Комбінації (сполуки) з n елементів по k. Нехай A — множина з n елементів. Довільна k-

елементна підмножина множин з n елементів називається комбінацією з n елементів по k. Порядок елементів у підмножинах неістотний. Число k-елементних підмножин множини з n елементів позначають :

,де n!=1*2.. n

0!=1, → = 1.

Перестановки. Множина з n елементів називається впорядкованою, якщо кожному елементу цієї множини поставлено у відповідність певне число (номер елемента) від 1 до n так, що різним елементам відповідають різні числа. Упорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або порядком їх.

Різні впорядковані множини, які відрізняються тільки порядком елементів (можуть бути утворені з тієї самої множини), називаються перестановками цієї множини. Число перестановок множини з n елементів дорівнює :

Pn = n!

Розміщення з n елементів по k. Упорядковані k-елементні підмножини множини, що містить n елементів, називаються розміщенням з n елементів по k. Число розміщень з n елементів по k дорівнює:

Біном Ньютона. , де n — натуральне число. Якщо a = b = 1, то

Величина , є (k+1)-й член в розкладенні бінома, k = 0,1,K,n.

Число способів розбиття множини з n елементів на m груп. Нехай , , …, — цілі невід'ємні числа, причому + + …+ = n. Число способів, якими можна подати множину A з n елементів у вигляді суми n множин, що містять відповідно k1, k2, …, елементів, дорівнює:

Перестановки з повтореннями. Число різних перестановок, які можна утворити з n елементів, серед яких є k1 елементів першого типу, k2 елементів другого типу, ...,km елементів m-го типу, дорівнює: