§ 7. Сортировка.

Сортировка - преобразование данной последовательности x в упорядоченную (далее  монотонно неубывающую) последовательность, содержащую те же компоненты. Чуть более формальная спецификация -

Предусловие: VAL(x)=X NT

Постусловие:

VAL(x)=X’ NT & X’ монотонна & X’ – перестановка X

Мотивация - упорядоченность последовательностей обеспечивает более быстрый поиск (см. "Поиск").

Все излагаемые ниже алгоритмы сортировки основываются на простом факте: если F - некая процедура, применение которой к массиву увеличивает длину отсортированной части массива (скажем, максимального упорядоченного начального его фрагмента), то кратное применение F обязательно упорядочит весь массив.

F

a₁… a_i

a₁… a_i+N+1

Задача - найти такой оператор F - по возможности, с достаточно быстро растущим N, N=N(a). Наиболее простые для понимания идеи нахождения нужного F основаны непосредственно на определении (спецификации) упорядоченности.

Последовательность а  [1..n]T упорядочена

 a)  i  [1..n-1] (a_i  a_i+1) (идея - сортировка простым обменом - обмен значений "неправильных" соседних пар)

 b)  i  [1..n-1]  j  [i+1..n] (a_i  a_j) (идея - "пузырьковая" сортировка - обмен значений "неправильных" пар нужного вида)  с)  i  [1..n-1] (a_i = min (a[i,n]) (идея - поиск соответствующего минимума)

{здесь и далее tIndex=1..MaxLen; tArray=array[tIndex] of T, для некоторого типа T с некоторым определенным на его элементах сравнением <, LenA - фактическая длина массива А};

procedure СортировкаПростымОбменом (var A: tArray; LenA:tIndex);

var ПустойПроход:boolean; {= i  [1..n-1] (a_i  a_i+1) }

begin

repeat

ПустойПроход:=true;

for i:=1 to n-1 do

if a[i]>a[i+1] then begin Обмен(a[i],a[i+1]); ПустойПроход:=false end;

until ПустойПроход

end; { СортировкаПростымОбменом }

Замечание о сходимости алгоритма. 1 проход не упорядочивает массив, но - увеличивает отсортированную часть!

Предыдущая тема дает еще одну вариацию начальной идеи сортировки - если операция F сохраняет упорядоченность и увеличивает длину массива, то ее кратное применение упорядочивает массив. К таким, очевидно, относятся операции вставки и слияния.

procedure СортировкаВставкой(var A:tArray;LenA:tIndex);

var i:tIndex;

begin

for i:=1 to LenA do {Вставить A[i] в упорядоченный к этому времени массив A[1..i-1]}

end;

{для простоты, положим LenA=2ⁿ , nN}

procedure СортировкаСлиянием(var A:tArray;LenA:tIndex);

var

i,

l, {=2ⁱ , длина сливаемых подмассивов}

m : tIndex; {=2^n-i число слияний}

begin

l:=1; m:=LenA;

for i:=1 to LenA div 2 do

{Слить попарно все упорядоченные к этому времени подмассивы длины 2ⁱ , всего 2^n-i слияний }

t:=1; for k:=1 to m do

begin

{k-е слияние - непосредственно слить A[t .. t+l-1], A[t+l .. t+2*l] в A[t .. t+2*l] проблематично, потому сначала сливаем A[t .. t+l-1], A[t+l .. t+2*l] в B[t .. t+2*l] а затем копируем B[t .. t+2*l] в A[t,t+2*l]} t:=t+l

end; { for k:=1 to m }

A:=B;l:=l*2;m:=m div 2;

end; { i:=1 to LenA div 2 }

end; { procedure СортировкаСлиянием }