5. Отношение эквивалентности
Отношение
эквивалентности (
)
на множестве X —
это бинарное отношение, для которого
выполнены следующие условия:
-
Рефлексивность:
для
любого a в X, -
Симметричность: если
,
то 
, -
Транзитивность: если
и 
,
то 
.
Запись вида «
»
читается как «a эквивалентно b».
6. Отношение частичного порядка и строго порядка
Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка, или отношением частичного порядка, если имеют место
-
Рефлексивность:
-
Транзитивность:
; -
Антисимметричность:
.
Множество X, на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.
Отношение R,
удовлетворяющее условиям рефлексивности,
транзитивности, антисимметричности
также называют нестрогим,
или рефлексивным
частичным порядком и
обычно обозначают символом 
.
Если условие рефлексивности заменить
на условие антирефлексивности:
,
то получим определение строгого, или антирефлексивного частичного порядка, обозначаемое обычно символом < . В общем случае, если R — транзитивное, антисимметричное отношение, то
—
рефлексивный
порядок
—
антирефлексивный
порядок.
Отношение частичного порядка R называется линейным порядком, если выполнено условие
Множество X, на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным, или цепью.
Отношение R, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется квазипорядком, или предпорядком.
7. Булевы функции 1 и 2 переменной
Булевой функцией y=f(x1, x2 ... xn) от п переменных x1, x2, xn называется любая функция, в которой аргументы и функция могут принимать значение либо 0 либо 1, т.е. булева функция это правило по которому произвольному набору нулей и единиц (x1, x2 ... xn) ставится в соответствие значение 0 или 1.
Булевы функции называются также функциями алгебры логики, двоичными функциями и переключательными функциями.
Булеву функцию от n переменных можно задать таблицей истинности, в которой наборы значений аргументов расположены в порядке возрастания их номеров: сначала идет набор, представляющий собой двоичное разложение 0 (этот набор имеет номер 0); затем идет набор, являющийся двоичным разложением 1, потом 2, 3 и т.д. Последний набор состоит из n единиц и является двоичным разложением числа 2n -1 (такой порядок расположения наборов назовем лексикографическим порядком). Учитывая, что отсчет начинается с 0, а значение булевой функции может быть либо 0 либо 1, заключаем, что существует всего 22n различных булевых функций от n переменных.
8. Графы основные понятия и определение
граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин.
Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.
неориентированный граф G — это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой выполнены следующие условия:
-
V это непустое множество вершин или узлов,
-
E это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.
Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V,A), для которой выполнены следующие условия:
V это непустое множество вершин или узлов,
A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.
Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги.
Смешанный граф G — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G: = (V,E,A), где V, E и A определены так же, как выше.
Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.
Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.
Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер.