3. Мощность множества. Теоремы множеств, число подмножеств

Мощность множества или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Для мощностей множеств можно ввести отношение частичного порядка, поэтому одно бесконечное множество может быть больше или меньше другого. Среди бесконечных множеств счётное множество является самым маленьким.

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция (Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным и инъективным). Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является, однако, множеством.

Свойства:

-Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

-Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например .

-Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.

-Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2A | > | A | .

-С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

-Мощность декартова произведения:

-Формула Грассмана:

Теорема Кантора:

В теории множеств теорема Кантора гласит, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.

4. N-местное отношение, бинарное отношение.

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.

N-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах , называется подмножество прямого произведения этих множеств.

Иногда понятие отношения определяется только для частного случая  для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:

.

Арность:

• Одноместные отношения соответствуют свойствам или атрибутам.

• Двуместные отношения называют бинарными и обычно записывают инфиксной записью: x R y. Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

• Трёхместные отношения называют тернарными.

В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Свойства:

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

• Рефлексивность: .

• Антирефлексивность (иррефлексивность): .

• Симметричность: .

• Антисимметричность: .

• Транзитивность: .

• Связность: .

• Асимметричность: . Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.