1. Понятие множества, диаграмма Эйлера-Венн,определение подмножества

Понятие множества является первичным, так же, как понятие точки и прямой в Евклидовой геометрии. Основоположник теории множеств Георг Кантор определил его так: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Дадим интуитивное определение множества.

Под множеством М понимается совокупность различимых объектов любой природы, называемых элементами данного множества.

Природа объектов может быть самой различной. Это люди, города, сигналы и т. д. Множества обычно обозначаются прописными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Тот факт, что элемент x принадлежит множеству M, можно записать так: x Î M (читается: x принадлежит M), в противном случае обозначается x Ï M (читается: x не принадлежит M).

Заметим, что элементы множества сами могут быть множествами. Например, множество студентов какого-то учебного заведения состоит из элементов (групп), которые, в свою очередь, состоят из студентов.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным, в противном случае - бесконечным. Если же множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым (обозначается Æ ). Пустое множество введено в математике для удобства и единообразия языка.

Рассмотрим некоторые способы задания множеств. Множество можно задать перечислением принадлежащих ему элементов, указанием свойств, которым элементы множества должны удовлетворять, или заданием порождающей процедуры.

Если x1, ..., xn все элементы множества M, то будем писать M = {x1, ..., xn}. Например, A = {Иванов, Петров, Куйдин}.

Пусть имеется свойство P, которым могут обладать или не обладать элементы некоторого множества A. Тогда множество M, состоящее из всех элементов множества A, обладающих свойством P, представляется через M = {x Î A| x обладает свойством P}.

Множество A называется подмножеством множества B (обозначается A Í B), если все элементы множества A принадлежат B.

Совокупность всех подмножеств множества A называется его булеаном и обозначается через r(A) или 2A, 2|A|. Таким образом, r(A) = {B | B Í A}. Само множество A в этом случае называется универсальным или универсумом и обозначается через U (U называют еще пространством).

Множества часто задают также графически в виде диаграмм. Это еще один из способов задания множеств. Строится прямоугольная рамка, которая ограничивает элементы пространства U. Далее, чертят круги или другие замкнутые кривые (круг Эйлера), которые ограничивают элементы каких-то множеств. Такие построения называют диаграммами Эйлера-Венна.

2. Симметрическая разность, прямое проецирование

Симметри́ческая ра́зность в теории множеств — это сумма разностей двух множеств.

Пусть даны два множества и . Тогда их симметрической разницей называется множество:

Свойства:

-Симметрическая разность может быть эквивалентно определена следующим образом:

-Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;

-Симметрическая разность коммутативна:

-Симметрическая разность транзитивна:

-Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

-Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

-В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;

-Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем

-Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

-В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.