Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид

, (64)

где заданные функции и определены и непрерывны в интервале , а n – вещественное число, отличное от 0 и 1 (так как при или уравнение Бернулли обращается в линейное дифференциальное уравнение).

Уравнение Бернулли (64) приводится к линейному введением новой переменной

, . (65)

Для новой искомой функции и получаем уравнение

. (66)

Согласно формуле (59), общее решение уравнения (66)

, (67)

следовательно, общее решение уравнения Бернулли

. (68)

Из уравнения (64) видно, что при существует решение этого уравнения.

Если , то прямая является асимптотой всех интегральных кривых уравнения Бернулли, а, значит, частным решением этого уравнения, которое получается из формулы (68) при . (В формуле (68) можно положить и, заново переписав формулу, получить решение при ).

Если , то является особым решением уравнения Бернулли, оно не может быть получено из общего решения (68) ни при каком значении постоянной интегрирования С.

Из вышеизложенного следует, что вопросы, связанные с интегрированием и изучением поведения решений уравнения Бернулли, сводятся к аналогичным вопросам для линейного уравнения. Однако, классически уравнение (64) интегрируется непосредственно применением мультипликативной подстановки Бернулли (55) (или методом Лагранжа) без предварительного сведения его к линейному.

Примеры.

46. , а) ; б) .

Подстановкой (55) получаем вспомогательное уравнение

,

из которого определяем первую искомую функцию и

, , , .

Подставляем функцию и снова во вспомогательное уравнение и находим вторую искомую функцию v

, ; .

Согласно подстановке (55), общее решение данного уравнения запишем в двух видах:

а) ; б) , .

Отсюда решения поставленных задач Коши:

а) ; б) .

47. , а) ; б) .

Решаем соответствующее линейное однородное уравнение

, , , .

Варьируя по Лагранжу постоянную интегрирования , находим общее решение данного уравнения

, ,

, , ;

окончательно,

.

В окрестности точки (1,1) выполняются условия существования и единственности задачи Коши для данного уравнения, поэтому из общего решения, с использованием начальных данных, находим решение поставленной задачи Коши в варианте а)

, ; а) .

Действуя формально, нетрудно получить решение задачи Коши в варианте б)

, ; б) ; ,

однако, это решение не является единственным, поскольку через точку (1,0) проходит еще очевидное решение , которое является особым решением данного уравнения. Линия является с одной стороны интегральной кривой данного уравнения, а с другой – геометрическим местом точек, в каждой из которых нарушается свойство единственности (проще говоря, геометрическим местом тех точек, где бесконечна).

Решения поставленной задачи Коши в варианте б) для данного уравнения нет.

48. .

Методом Бернулли, полагая , найдем общий интеграл данного уравнения

; , , , ;

, , ;

, .

Особых решений нет. Линия , на которой нарушается свойство единственности, не является решением данного уравнения.

49. . Это нелинейное уравнение. Полагая , приводим его к классическому виду (64) уравнения Бернулли

.

Методом Лагранжа находим общий интеграл уравнения Бернулли.

, , , ;

, ,

,

(здесь применялось интегрирование по частям);

.

Возвращаясь к старым переменным, запишем общий интеграл исходного уравнения

.

50. . Данное дифференциальное уравнение является нелинейным. Элементарными преобразованиями оно приводится к уравнению Бернулли, если рассматривать переменную х кА функцию от у.

.

Будем искать общее решение этого уравнения методом Бернулли подстановкой

; , ,

, ; , ,

далее, квадратурой, с интегрированием по частям, находим

.

Зная функции u, v, после некоторых преобразований, запишем общий интеграл данного уравнения в виде

.