Уравнение с разделяющимися переменными

Уравнение с разделенными переменными

, (22)

где функции и непрерывны, не имеют особых решений. Общий интеграл такого уравнения пишется сразу

, (23)

или в форме Коши

. (24)

Если и не равны нулю одновременно, то решение задачи Коши можно получить, полагая С = 0 в форме (24). Если же , то требуются дополнительные исследования, поскольку точка может оказаться особой точкой уравнения (22), а значит, единственное решение с начальными данными x₀, y₀ может не существовать.

Уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение

,

в котором непрерывные функции и могут быть представлены в виде произведения функций, зависящих только от одного аргумента

, ,

то есть дифференциальное уравнение

(25)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Предполагая, что , , путем деления на произведение уравнение (25) приводится к уравнению с разделенными переменными

.

Общим интегралом этого уравнения, а следовательно, и уравнения (25), будет

(26)

или

. (27)

Предположение , , может привести к потери частных решений. Если уравнения и имеют вещественные решения и , то (при ) и (при ) будут решениями уравнения (25). Эти решения, и только они, могут оказаться особыми, что проверяется дополнительным исследованием.

Решение задачи Коши с начальными данными x₀, y₀ при условии , , а и не равны нулю одновременно, можно получить из формулы (27), полагая С = 0. Если , то не гарантируется ни существование ни единственность решения.

Единственность не нарушается когда начальная точка лежит на одном из частных решений вида (), ().

Наконец, поле направлений в точке не определено, к этой точке примыкают решения (), ().

Уравнение вида

(28)

есть уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл получается после разделения переменных квадратурой

. (29)

Если уравнение имеет вещественные решения вида , то прямые будут решениями уравнения (28). Эти решения могут оказаться особыми, других особых решений быть не может.

Уравнение с функцией специального вида

, (30)

где a, b, c – постоянные, заменой переменных преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

Примеры.

18. . Разлагая коэффициенты данного уравнения на множители, убеждаемся, что это уравнение с разделяющимися переменными (25)

.

Разделяя переменные, запишем общий интеграл в форме (26)

или

.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что х = 1 и у = 1 являются частными решениями. Особых решений нет.

19. . Уравнение определено в полосе , . Общий интеграл получаем после разделения переменных

, .

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что линии являются решениями этого уравнения, более того, они являются огибающими интегрального семейства кривых и потому особыми решениями.

20. . Путем деления на произведение данное уравнение приводится к уравнению с разделенными переменными (22) .

Используя формулу (23), сразу находим общий интеграл ,

который для удобства записи окончательного результата перепишем в виде

,

или, потенцируя,

, .

Общий вид семейства интегральных кривых показан на рис. 10. Прямые , являются частными решениями данного уравнения, формально они не получаются из квадратуры, поскольку , но могут быть присоединены к общему интегралу уравнения (если положить ).

Замечание. В геометрических вопросах и при нахождении общих интегралах выгоднее считать х и у равноправными и принимать за независимое переменное то х, то у (как удобнее). Наоборот, в исследованиях теоретико-функционального характера (доказательство существования решения или единственности решения начальной задачи) всегда надо рассматривать у как функцию от х; тогда, конечно, ранее упоминавшиеся (27) прямые не являются решениями.

21. Найти решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию

.

Нетрудно видеть, что функция непрерывно по переменным х и у в любой области конечного диаметра, а значит всегда существует и при том единственное решение задачи Коши. Оно может быть найдено квадратурой (29) записанной в форме Коши, если положить

, , .

Если в качестве начального условия взять , то получится единственное тривиальное (вырожденное) решение .

22. . Это уравнение вида (30).

Положим . Тогда . Используя исходное уравнение, имеем

, разделяя переменные ,

квадратурой находим общий интеграл

или ,

. Возвращаясь к старым переменным и преобразуя, находим общее решение .