6.Повнота і замкненість систем бульових функцій. Теорема (критерій) Поста.

С-ма бульових ф-цій {f1,f2,…,fn} наз. функціонально повною с-мою бульових ф-цій, якщо довільну бульову ф-цію F(x1,x2,...,xn) можна виразити як суперпозицію ф-цій f1,f2,…,fn та ф-цій x1,x2,...,xn

Озн. Клас (м-на) ф-цій наз. замкненим, якщо довільна суперпозиція ф-цій цього класу також належить цьому класу.

f1,f2,…,fn є S => є F(f1,f2,…,fn) є S

С-ма бульових ф-цій P₂ наз. функціонально повною с-мою бульових ф-цій, якщо довільну бульову ф-цію можна виразити через ф-ції м-ни  за допомогою суперпозиції або запишимо так []_s=P₂.

Озн. Клас ф-цій  наз. Замкненим, якщо замикання []_s=

Чудові класи замкнених ф-цій

Т₀—ф., що зберігає 0. fТ_0, якщо f(0,0,0...0)=0

Т₁— ф., що зберігає конст. 1. fТ_1, якщо f(1,1,1,...1)=1 / (f* - двоїста до f)

С — клас самодвоїстих ф-цій. fС, якщо f* = f. / (якщо f*(x)=f(notx))

М — клас монотонних ф-цій. f є М, якщо для довіл. кортежів АB випливало

f(А) f(В)

L—клас лінійних ф-цій. fL, якщо f=a₁x₁a₂x₂... a_nx_n a_n+1

Назва БФ	Позн.	Т0	Т1	М	L	C
константа 0	0	+	-	+	+	-
константа 1	1	-	+	+	+	-
заперечення	x¬y	-	-	-	+	+
кон’юнкція	xy	+	+	+	-	-
диз’юнкція	xy	+	+	+	-	-
додав. за модулем 2	xy	+	-	-	+	-
еквіваленція	x~y	-	+	-	+	-
імплікація	xa y	-	+	-	-	-
штрих Шефера	x|y	-	-	-	-	-
стрілка Пірса	xy	-	-	-	-	-

Теорема (ПОСТА про функціональну повноту). Для того, щоб с-ма б.ф. була функ. повною н. і д., щоб вона не містилася цілком в жодному з 5 чудових замкнених класів. Або н. і д., щоб вона містила принаймні 1 ф-цію, яка

1) не зберігає конст.0

2) не зберігає конст.1

3) не є монот.

4) не є лінійн.

5) не є самодвоїстою.

С-ма буде функ. Повною, якщо кожен стовпчик таблиці має принаймні один "-".

Доведення:

Від супротивного. Нех , - функіонально повна система К – один з класів, , виконується також, що такого не може бути, бо

Задовільняє умову теореми і неміститься в жодному з класів

будемо зводити до

3 етапи:

1. За допомогою ; ,

б) за лемою, яка має такий зміст: (Нех. , тоді шляхом підстановки замість її змінних х або можна одержати одну з бульових констант), маємо насамперед функ. , та функ. Заперечення , отримуємо одну з констант , другу константу отримаємо підстановкою в заперечення.

2. в лемі про: (якщо , шлях підстановки , то з функ х а також конст 0 та 1 можна отримати функ ), ми будуємо функцію заперечення

3. за лемою (якщо , що шляхом підстановки замість деяких змінних 0 або 1 можна отримати нелін функ від 2-х змінних ), маємо ,