2. Відношення та їх властівості. Відношення еквівалентності та часткового порядку. Фактор-множина.

Озн. Нехай М–довільна мн. Тоді  підмн-на R Mⁿ наз. n-місним або n-арним відношенням на мн-ні М (а₁,а₂,а₃,....,а_n знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (а₁,а₂,а₃,....,а_n)  R.).

Коли n=1 R М назив. унарним, одномісним відношенням. Коли n=2 R M² =М  М наз. бінарним, двомісним відношенням.

Приклади:

1) М=N, R₁ – "менше або дорівює": (1,3) R₁ (1 R₁ 3), (7,2) R₁ .

2) M=N² , R₂ – "знаходяться на одній відстані від (0,0)": (3,2) R₂ (2,3), (0,0) R₂ (0,0),....

3) M– мн-на студентів факультету

R₃ – "є однокурсниками" 2 R₃ 13.

Операції над відношеннями:

Оскільки відн. є мн., то над відн. можна виконувати всі множинні операції.

Спецефічні операції:

1) Операція обертання. R^-1 наз. оберненням, до відношення R, якщо (a¸b) R^-1  (b, a) R .

2) Композицією відношень R₁R₂ (R₁,R₂) наз. таке вдношення, для якого виконується (a¸b) R₁R₂   с :

Властивості відношень.

1) Рефлексивність. Від-ня R наз рефлексивним   аМ (a¸а) R (а R а).

2) Антирефлексивність. Від-ня R наз. антирефлексивним або, якщо  аМ (а,а)R.

3) Симетричність. Від-ня R наз. симетричним, якщо (a¸b) R  (b,а) R;

4) Антисиметричність. Від-ня R наз. антисиметричним, якщо ;

5) Транзитивність. Від-ня R наз. транзитивним, якщо ;

6) Операція транзитивного замикання R на М (операція, яка робить з нетранзитивного транзитивне). Транзитивним замиканням R* є (a,b)R* c₁ , c₂, ……. ,c_k: c₁ =a, c_k=b .

Відношення еквівалентності:

Озн. Від-ня R на М називається від-ням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне одночасно.

Приклад: 1) А~B; 2) Паралельність прямих, подібність трикутників, рівносильність рівнянь.

Фактор – мн-на:

Нехай R– відношення еквівалентності на М. Візьмемо довільний елемент а з М і побудуємо для цього елемента множину: a,

b\,……………..

тоді ,…….– називаються класами еквівалентності за відношенням R, а сукупність цих класів {,…}=М/ R називається фактор-множиною мн-ни М за відношенням R.

Теорема: Існує взаємнооднозначна відповідність між усіма еквівалентностями на мн-ні М і всіма розбиттями мн-ни М (розбиттям мн. А назив. сукупність мн-н , якщо 1) , 2)  (≠)).

Відношення часткового порядку:

Озн. Від-ня R на мн-ні М називається від-ням часкового(нестрого) порядку, якщо це відношення є одночасно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне. Позначається ≤.

Озн. Мн-на М наз. часково впорядкованною, якщо на ній задане відношення часкового порядку.

Озн. Два елементи a,b M назив. порівнюваними між собою, якщо або (a¸b) R , або (b,а) R.

Озн. Відношення часткового порядку назив. відношенням лінійного або досконалого порядку, якщо будя які елементи a,b M є порівнюваними між собою. Мн-на, на якій задано лінійний порядок назив. лінійно-впорядкованою, або ланцюгом.

Озн. Лінійно-впорядкована мн-на назив. цілком впорядкованою, якщо будь-яка її непорожня мн-на має найменший елемент (найменшим елементом мн-ни М називається такий елемент, який менший рівний будь-якого елемента цієї мн-ни).