2.Гьодельові нумерації. Унів-ні функції. Унів-на чрф, унів-на машина Тьюрінга. S-m-n-теорема.

Нумерації з описаною нижче властивістю називають Гьодельовими. Поняття Гьодельової нумерації для випадку нумерацій n-арних ЧРФ уточнимо таким чином.

Нумерація  називається Гьодельовою, якщо існують рекурсивні функції f та g такі:

 для кожного тN = _f(m);

 для кожного kN _k = .

Це означає, що існує пара алгоритмів, перший з яких за стандартним індексом функції знаходить її -індекс, а другий за -індексом функції знаходить її стандартний індекс.

Твердження Кожна гьодельова нумерація ефективна.

Введемо тепер важливе поняття обчислюваної нумерації.

Нехай F  деякий клас функцій вигляду Х→Y, для якого задана нумерація :N→F. З та-кою нумерацією  зв’язана функція и: N×Х→Y, що визначається умовою и(п,х) = _п(х). Таку функцію и називають спряженою з нумерацією .

Нумерація називається обчислюваною, якщо спряжена з нею функція є ЧРФ. Твердження Кожна Гьодельова нумерація обчислювана.

Для довiльного класу п-арних функцiй F клас всiх функцiй iз F фіксованої арності т будемо позначати F^т.

Функцiя и(y, x₁, ..., x_п) називається унiверсальною функцiєю для класу F^п, якщо:

 для кожного значення y функцiя и(y, x₁, ..., x_п)F^п;

 для кожної fF^п iснує таке m, що f(x₁, ..., x_n)=и(т, x₁, ..., x_п) для всiх значень x₁, ..., x_п .

Теорема Нехай T  деякий клас тотальних п-арних функцiй на N, який мiстить функцiї о, s, I та замкнутий вiдносно суперпозицiї. Нехай функцiя u унiверсальна для T^п. Тодi uT.

Теорема Існує ЧРФ, унiверсальна для класу n-арних ЧРФ.

Розглянемо функцiю и(у, x₁, ..., x_п) = (x₁, ..., x_п). Вона є унiверсальною для класу n-арних ЧРФ. Справді,

 для кожного m функцiя и(т, x₁, ..., x_п)=(x₁, ..., x_п)  ЧРФ;

 кожна n-арна ЧРФ f  суть функцiя  для деякого m, тобто f(x₁, ..., x_п)=(x₁, ..., x_п)= =и(т, x₁, ..., x_п) для всiх x₁, ..., x_п .

Машина Тьюрiнга, яка обчислює унiверсальну ЧРФ, називається унiверсальною МТ.

Теорема (s-m-n-теорема). Для довiльних m, n>1 iснує (m+1)-арна РФ s(z, x₁, ..., x_m), така, що для всiх z, x₁, ..., x_т, у₁, ..., у_п маємо (x₁, ..., x_т, у₁, ..., у_п) = (у₁, ..., у_п).

3.Рекурсивні та рекурсивно перелічні мн-ни (рм та рпм), рек-ні та частково рек-ні предикати, їх влас-ті.

Множину MNⁿ називають рекурсивною (скорочено РМ), якщо її характеристична функцiя _M рекурсивна.

Множину MN називають рекурсивно перелiчною (скорочено РПМ), якщо M= або M=E_f для деякої рекурсивної функцiї f.

Множину MNⁿ називають РПМ, якщо M= або iснують 1-арнi РФ g₁, ..., g_n такi, що M={(g₁(x), ..., g_n(x)) | xN }.

Як наслiдки тези Чорча дiстаємо такi твердження:

 клас РМ спiвпадає з класом алгоритмiчно розв’язних множин натуральних чисел;

 клас РПМ спiвпадає з класом алгоритмiчно перелiчних множин натуральних чисел.

Тeорeма 1) кожна рекурсивна множина є РПМ;

2) клас ПРМ строго включається в клас РМ.

Тeорeма 4.1.5. Нехай L  нескiнченна РПМ. Тодi iснує нескiнченна рекурсивна множина M така, що ML.

Тeорeма 4.1.6. Нехай L  нескiнченна РПМ. Тодi iснує iн’єктивна РФ f така, що L=E_f

Тeорeма 4.1.10. Наступнi визначення РПМ еквiвалентнi:

df1) L= або L є областю значень деякої РФ;

df2) L є областю значень деякої ЧРФ;

df3) L є областю визначення деякої ЧРФ;

df4) часткова характеристична функцiя множини L є ЧРФ.

Тeорeма 4.1.11. Клас РПМ замкнутий вiдносно операцiй  та .

n-арний предикат на N називають рекурсивним (скорочено РП), якщо його характери-стична функцiя рекурсивна.

n -арний предикат на N називають частково рекурсивним (скорочено ЧРП),

якщо його часткова характеристична функцiя є ЧРФ.

Тeорeма 4.2.1. 1) предикат P є ЧРП (РП, ПРП)  I_P є РПМ (вiдповiдно РП, ПРМ);

2) класи ПРП та РП замкнутi вiдносно логiчних операцiй , &. та ;

3) клас ЧРП замкнутий вiдносно операцiй  та &;

4) клас ПРП строго включається в клас РП;

5) кожний рекурсивний предикат є ЧРП;

6) якщо P та P  ЧРП, то P та P  РП;

Тeорeма 4.2.4. Ф-я f(x₁, ..., x_n) частково рекурсивна  предикат "y= f(x₁, ..., x_n)" є ЧРП.

Тeорeма 4.2.3. Нехай Q(x₁, ..., x_n, y)  ЧРП. Тодi yQ(x₁, ..., x_n, y) теж ЧРП.

Тeорeма 4.2.2. Предикат Q(x₁, ..., x_n) частково рекурсивний тодi i тiльки тодi, коли iснує рекурсивний предикат R(x₁, ..., x_n, y) такий, що Q(x₁, ..., x_n)  yR(x₁, ..., x_n, y).