1.2. Примеры решения задач.

1) Задача на применение закона Кулона.

Два одинаковых маленьких шарика массой по 2г подвешены на шелковых нитях длиной 1м каждая в одной точке. После того как шарикам сообщили одинаковый положительный заряд, они разошлись на расстояние 4см. Определите величину заряда каждого шарика.

Решение:

На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести , сила Кулона и сила натяжения нити

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ

m=2г =2·10^-3кг

=1м

r=4см =4·10^-2м

q-?

Так как шарики находятся в покое, векторная сумма этих сил равна нулю: . Это возможно только в том случае, если равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити уравновешивается силой отталкивания:. По закону Кулона . Приравниваем правые части и . Угол α найдем, зная, что и тогда .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

.

Ответ: 7,8нКл.

2) Задача на применение принципа суперпозиции.

Два заряда по 20мкКл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найти напряженность в точке, удаленной на 5см от каждого заряда, если заряды разноименные.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Построим в точке, где ищем напряженность, вектора напряженностей и , электрических полей, создаваемых зарядами q₁ и q₂ с учетом знаков зарядов.

Дано: СИ

q₁=0,2мкКл =0,2·10^-6Кл

q₂=-0,2мкКл = -0,2·10^-6Кл

a=6см =6·10^-2м

b=5см =5·10^-2м

Е-?

По принципу суперпозиции результирующая напряженность .

По теореме косинусов модуль результирующей напряженности , где , так как заряды по модулю равны и равны расстояния от зарядов до точки, в которой ищем результирующую напряженность. α -угол между векторами и . Как видно из рисунка этот угол равен углу, лежащему напротив отрезка а в треугольнике, образованном отрезками a, b, b. По теореме косинусов найдем cosα:

Окончательно, получим расчетную формулу:

.

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

Ответ: 864кВ/м.

3) Задача на взаимодействие точечных и распределенных зарядов.

Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд q = 0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Выделим на стержне малый участок dr с зарядом

dq = τ·dr,

который можно рассматривать как точечный, расположенный на расстоянии r от заряда q.

Дано: СИ

τ = 1,5 нКл/см =1,5·10^-7Кл/м

q = 0,2мкКл = 0,2·10^-6Кл

d = 12см =12·10^-2м

ℓ = 5 см = 5·10^-2

Е-?

Тогда

Интегрируя это выражение в пределах от d до d+ℓ, получим

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

Ответ: 6,62 Н.

4) Задача на применение теоремы Гаусса.

Электрическое поле создано прямым бесконечным цилиндром радиуса R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ =0,2 нКл/м².Определить напряженность электрического поля в точках, лежащих от оси цилиндра на расстояниях r₁ = 50 см.

Решение:

Для решения задачи применим теорему Гаусса. Выберем замкнутую цилиндрическую поверхность, коаксиальную с заряженной цилиндрической поверхностью, радиусом 0,5 м и высотой Δl.

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ

R = 1 cм = 10^-2 м

σ =0,2 нКл/м² = 0,2·10^-9Кл/м²

r₁ = 50 см = 5·10^-1м

Е-?

Для основания цилиндра Е_n = 0, поэтому поток вектора напряженности через основания также равен нулю.

Для боковой поверхности Е_n = Е( r ).

Следовательно, поток вектора напряженности через замкнутую цилиндрическую поверхность равен потоку через боковую поверхность и равен Е( r )·2πr₁·Δl. По теореме Гаусса этот же поток равен сумме заряда, заключенного внутри выбранной поверхности, деленной на электрическую постоянную. Т.к. q = σ·2πR·Δl, получим:

Е( r )·2πr₁·Δl = (σ·2πR·Δl)/ε₀.

Е( r ) = (σ·R)/(ε₀· r₁).

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

Ответ: 1,13кВ/м.

5) Задача на работу поля.

Шарик массой 10^-4кг перемещается вдоль силовой линии однородного электрического поля из точки 1 с потенциалом 1000В в точку 2 с потенциалом равным 100В. Определите скорость шарика в точке 1, если в точке 2 его скорость 20м/с. Заряд шарика 10^-5Кл.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Работа, совершенная силами электрического поля при перемещении электрона из точки 1 в точку 2, равна изменению его кинетической энергии : , где,

Д ано:

q=10^-5Кл

m=10^-4кг

φ₁=1000В

φ₂=100В

v₂=20м/с

v₁-?

, -кинетические энергии шарика в точках 2 и 1 соответственно. С другой стороны работу поля можно найти через разность потенциалов: . . Отсюда .

Проведем проверку размерности:

=

Произведем вычисления:

Ответ: 14,8м/с

6) Задача на использование формул потенциальной энергии и емкости конденсатора.

Какую работу нужно совершить, чтобы удалить слюдяную пластинку из плоского конденсатора емкостью 10мкФ? Заряд конденсатора 100мкКл.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Работа А равна изменению потенциальной энергии конденсатора, взятого со знаком «-»: А = W_п2 – W_п1

Д ано: СИ

С₁=10мкФ =10^-5Ф

Q=100мкКл =10^-4Кл

А-?

где - потенциальная энергия конденсатора с пластинкой, - его потенциальная энергия без пластинки. Заряд конденсатора при удалении пластинки не изменился, так как он отключен от источника тока. Емкость конденсатора с пластинкой и без нее , ε₁, ε₂-диэлектрические проницаемости слюды и воздуха соответственно (из таблицы ε₁=6, ε₂=1). Разделим емкости конденсаторов друг на друга: .

Отсюда .

.

И искомая работа: .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: 2,5мДж