30. Оценка надёжности резервируемых восстанавливаемых систем методами теории массового обслуживания. Пример.

Рассмотренные методы обеспечения надежности и количественно оценки надежности не отражают процессы восстановления в технических системах. Резервированная система по способу ненагруженного резерва может иметь исправное состояние, когда основное соединение восстанавливается, а резервное соединение функционирует. Работа резервированных информационно-управляющих систем может характеризоваться несколькими состояниями, переход в которые происходит скачком в случайные моменты времени. Например, система обработки данных с недогруженным резервом может находиться в следующих четырех состояниях:

1. основная и резервная система исправны:

2. основная система отказала и восстанавливается, а резервная работает;

3. резервная система отказала и восстанавливается;

4. основная и резервная системы отказали.

Разработчик системы должен оценить вероятность пребывания системы в i -м состоянии Р_i(t) , а также оценить среднее время пребывания системы Т_i в исправных и неисправных состояниях с учетом процессов восстановления. Это позволит обоснованно назначить сроки профилактических мероприятий. Процессы, характеризуемые дискретными состояниями во времени, могут быть представлены как марковские процессы и описаны методами теории массового обслуживания.

Поскольку состояния системы несовместны и образуют полную группу событий, то

Дня вычисления вероятностей пребывания системы в i-м состоянии P_i(t) требуется знать статистические характеристики процессов отказов и восстановлений - плотности вероятности переходов из i -го состояния в j -е и обратно (i - е состояние -работоспособное, j -е - неисправное):

Если плотности вероятностей переходов не зависят от времени, то есть λ_ij(t)=const, µ_ij(t)=const то такой процесс считается стационарным. Для таких процессов можно построить граф состояний системы, число вершин которого равно числу возможных состояний. Дуги графа отражают потоки отказов и восстановлений, обозначения которых соответственно λ_ij и µ_ij указываются около дуг.

В левой части каждого уравнения записывается производная вероятности /-го состояния dP, '<//. Правая часть содержит слагаемые разных знаков, число слагаемых равно числу дуг. связанных с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной дуге графа на вероятность того состояния, из которого исходит эта дуга. Если луга направлена из / -го состояния, то соответствующее произведение имеет отрицательный знак. Если дута направлена в ;'-е состояние, то произведение имеет положительный знак.

В общем виде система линейных дифференциальных уравнений, описывающих непрерывный во времени марковский процесс, записывается так:

Опыт эксплуатации восстанавливаемых систем показывает, что под действием потоков отказов и восстановлений наступает установившийся режим, когда вероятности состояний системы Р_i становятся практически постоянными и dP_i/dt ~ 0. Это позволяет облегчить расчеты, приравнивая нулю правые части уравнений Колмогорова и оперируя с алгебраическими уравнениями с учетом полной группы событий:

Р₁+ ... +Р_i=1.

Записанные дифференциальные уравнения состояний системы позволяют вычислить и средние времена ее пребывания в каждом из состояний T_i, если эти уравнения представить в операторной форме. Действительно, преобразование Лапласа для вероятности i-го состояния:

Сравним это выражение с выражением для средней наработки до отказа:

Из этих выражений находим, что T_i=P_i(s) при s=0. Поэтому для вычисления T_i в системе уравнений Колмогорова нужно положить нулю все производные dP_i/dt=0. кроме dP₁/dt, если считать, что в начальный момент вероятность первого состояния (исправного) Р₁(0)=1. Тогда на основании теоремы о дифференцировании изображений в преобразовании Лапласа правая часть первого уравнения будет равна -1. В правых частях уравнений вместо Р_i, подставляются Т_i , и относительно них решается система алгебраических уравнений.

Оценим на примере вероятности пребывания системы в исправном состоянии и среднем времени пребывания в исправном состоянии. Система имеет основное соединение аппаратно-программных средств и резервное.

Система имеет 4 состояния, состояния 1, 2, 3 характеризуют ее в исправном работоспособном состоянии системы.

Т_и = Т₁ + Т₂ + Т₃ = ?

Поскольку исправное состояние определяют времена Т₁ , Т₂ , Т₃ то для их расчетов достаточно записать только первые уравнения стационарных процессов:

Из второго и третьего уравнения находим:

а после подстановки в первое уравнение получим:

Таким образом, среднее время пребывания комплекса в исправном состоянии определится выражением

среднее время наработки до отказа:

среднее время восстановления:

С понижением τ_в среднее время исправного состояния Т_и резко увеличивается. Отсюда следует, что задача разработчика спроектировать систему так, чтобы между профилактическими мероприятиями отказ был исключен.