19. Основні теореми двоїстого симплекс-методу.

Теорема 1 (критерій оптимальності псевдоплану). Якщо всі компоненти псевдоплану невід’ємні, тоді цей план є оптимальним розв’язком задачі.

Теорема 2 (про можливість поліпшення псевдоплану). Якщо серед базисних компонент псевдоплану існує така, що знайдеться , тоді перейдемо до наступного псевдоплану з меншим значенням цільової функції, якщо замінимо у базисі вектор на вектор , для номера якого виконується умова:

.

Теорема 3 (ознака нерозв’язуваності ЗЛП). Якщо серед базисних компонент псевдоплану існує хоча б одна така , що всі , тоді ЗЛП не має допустимих розв’язків.

20. Побудова початкового майже допустимого базисного розв'язку (псевдоплану) задачі лінійного програмування.

Нехай дана КЗЛП:

(2.2.1)

, (2.2.2)

(2.2.3)

Вектор називається майже допустимим планом або псевдопланом задачі (2.2.1) – (2.2.3), якщо він відповідає вимогам: задовольняє обмеженням (2.2.2), але не обов’язково задовольняє умові (2.2.3); система векторів , що відповідає його ненульовим компонентам – лінійно незалежна; оцінки відносно цього вектора - невід’ємні.

Процес розв’язування КЗЛП двоїстим симплекс-методом побудований так, що псевдо плану , який не задовольняє умові (2.2.3), відповідає значення цільової функції (2.2.1), яке треба розглядати як недопустимо велике. При переході до наступного псевдоплану її значення буде зменшуватися. І як тільки компоненти вектора отримують невід’ємних значень, тобто він стає допустимим розв’язком задачі (2.2.1) – (2.2.3), тоді цей вектор є оптимальним розв’язком цієї задачі, при якому досягається максимально можливе значення її цільової функції.

Згідно з означенням псевдоплану його оцінки :

Кожному псевдоплану задачі (2.2.1)–(2.2.3) відповідає деякий допустимий розв’язок задачі:

, (2.2.4)

. (2.2.5)

Оскільки оцінки для базисних векторів дорівнюють нулю, вектор обертає у точні рівняння відповідні обмеження двоїстої задачі.

21. Транспортна задача: постановка, умова її розв'язуваності. Відкриті та закриті транспортні задачі.

Постановка транспортної задачі пов’язана з визначенням такого плану перевезення вантажу від постачальників до споживачів, щоб загальні транспортні витрати були найменшими, за умов що мають бути задоволені потреби споживачів. Можливості кожного постачальника, а також потреби кожного споживача вважаються відомими.

Для побудови економіко-математичної моделі транспортної задачі введемо позначення: - кількість постачальників; - номер постачальника, ; - кількість вантажу у -го постачальника, ; - кількість споживачів; - номер споживача, ; - потреби -го споживача; ; - вартість перевезення одиниці вантажу від -го постачальника до -го споживача; . Невідомі моделі , означають кількість вантажу, який перевозиться від -го постачальника до -го споживача.

Загальні транспортні витрати обчислюються за формулою:

.

Згідно з критерієм оптимальності ці витрати мають бути мінімальними, тому цільова функція транспортної задачі прямує до мінімуму:

.

(3.1.1)

План перевезень має задовольняти умовам:

• загальний обсяг вантажу, який вивозиться від кожного постачальника, не повинен

перевищувати його запасу:

,

(3.1.2)

- обсяг вантажу, який надходить кожному споживачеві, не повинен бути менше від його

потреб:

,

(3.1.3)

- обсяги вантажу на кожному з маршрутів повинні бути невід’ємними:

.

(3.1.4)

Система умов (3.1.1) - (3.1.4) є математичною моделлю транспортної задачі.

Якщо загальна пропозиція дорівнює загальним потребам, тобто , тоді транспортна задача є збалансованою (закритою). В цьому випадку математична модель транспортної задачі має вигляд:

,	(3.1.5)
,	(3.1.6)
,	(3.1.7)
.	(3.1.8)

Будь-яка збалансована транспортна задача є розв’язуваною задачею.

При розв’язуванні реальних прикладних задач можливі ситуації, коли загальні потреби не дорівнюють загальним пропозиціям. Така транспортна задача називається незбалансованою. Щоб розв’язати таку транспортну задачу, треба спочатку звести її до збалансованої. Можливі дві ситуації:

1. Загальні потреби споживачів більші від загальної пропозиції постачальників:

.

У такому разі транспортна задача нерозв’язувана через наявність дефіциту продукції у постачальників у кількості

.

Постає задача оптимізації перевезення наявної кількості продукції. Для розв’язування такої задачі необхідно ввести фіктивного постачальника, який забезпечує одиниць продукції. Фіктивні поставки продукції , означають дефіцит продукції у -го споживача.

2. Загальні пропозиції постачальників більші від загальної потреби споживачів:

.

У такому разі у постачальників залишається невивезеною продукція. Для розв’язування такої задачі необхідно ввести до неї фіктивного споживача, потреби у продукції якого дорівнюють

.

Фіктивні поставки продукції , означають залишок продукції в -го постачальника.

І в першій, і в другій ситуації нормативи витрат на доставку продукції від фіктивного постачальника , а також до фіктивного споживача , дорівнюють нулю.