15. Двоїстість в лінійному програмуванні. Друга теорема двоїстості, її економічна інтерпретація.

Вивчення теорії двоїстості почнемо з побудови пари двоїстих задач. Нехай дана задача лінійного програмування

(2.1.1)

яку будемо вважати прямою задачею. Двоїстою до неї буде наступна задача

(2.1.2)

Теорема 2 (для пари симетричних двоїстих задач). Допустимі плани та є оптимальними планами пари двоїстих задач тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

,	(2.1.11)
.	(2.1.12)

Умови (2.1.11) та (2.1.12) називаються умовами додаткової нежорсткості.

Теорема 2 з економічної точки зору дає умови рентабельності виробництва продукції: умова (2.1.11) означає, що якщо сумарна оцінка витрат на виробництво одиниці продукції перевищує її собівартість, тоді така продукція є нерентабельною і в оптимальному плані її виробництво не повинно передбачатися. Вироблятися будуть тільки ті види продукції, у собівартість яких включені всі витрати, тобто рентабельні види продукції. Умова (2.1.12) теореми 2 з економічної точки зору дає можливість диференціювати всі види ресурсів на дефіцитні та недефіцитні або лімітовані та нелімітовані. Дефіцитні (лімітовані) ресурси – це такі, що у відповідності до оптимального плану виробництва продукції витрачаються повністю, недефіцитні (нелімітовані) – ті, що є в залишку. Оцінка запасу недефіцитних ресурсів дорівнює нулю.

16. Двоїстість в лінійному програмуванні. Третя теорема двоїстості, її економічна інтерпретація.

Важливу роль для економічного аналізу конкретної ситуації має теорема 3, на основі якої оптимальні значення двоїстих змінних дозволяють також оцінити вплив зміни запасів ресурсів на максимальну вартість виготовленої продукції.

Припустимо, що пряма задача розв’язувана. Позначимо оптимальне значення цільової функції , підкреслюючи залежність вартості виготовленої продукції від запасів ресурсів . З теореми 2.1 випливає:

,

де - оптимальний розв’язок задачі (2.1.6).

Припустимо, що запаси ресурсів змінилися на ; тоді

за умов збереження оптимальності розв’язку двоїстої задачі.

Значення цільової функції прямої задачі зміниться на величину

.

Останнє співвідношення показує, що кожна двоїста змінна характеризує величину приросту оптимального значення цільової функції прямої задачі при зміні на одиницю. Таким чином, маємо наступну теорему.

Теорема 3. Нехай пряма задача (2.1.5) розв’язувана, тоді

,

або

.

17. Економіко-математичний аналіз прикладних задач лінійного програмування на основі теорії двоїстості.

18. Алгоритм двоїстого симплекс-методу.

Розглянемо метод розв’язування ЗЛП, який пов’язаний з теорією двоїстості.

Нехай дана КЗЛП:

(2.2.1)

, (2.2.2)

(2.2.3)

Правила двоїстого симплекс-методу дають підстави для побудови його алгоритму для невиродженої ЗЛП.

Нехай існує псевдо план , якому відповідає базис та всі , .

1. Перевіримо умову оптимальності, тобто чи всі , . Якщо вона виконується, тоді цей план є оптимальним розв’язком задачі (2.2.1) – (2.2.3). Якщо існують, тоді перейти до п.2.

2. Перевіряємо умову нерозв’язуваності задачі, тобто чи існує хоча б одна така, що всі . Якщо умова виконується, тоді робимо висновок про нерозв’язуваність задачі. Якщо існують, тоді перейти до п.3.

3. Робимо зміну базису: виводимо з базису вектор, якому відповідає , та вводимо до базису вектор, якому відповідає:

.

4. Переходимо до нового псевдоплану , переобчислюємо розклад всіх векторів , , за новим базисом згідно з основними формулами симплекс-методу (2.2.6) та (2.2.7) та оцінки за формулою:

, .

Повертаємося до п.1.