Второй признак равенства треугольников

Определение: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим Δ и Δ, где , и . Треугольники подобны по двум углам (, ). Более того, их коэффициент подобия , следовательно, они равны.

Третий признак равенства треугольников III

Определение: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим Δ и Δ такие, что , , а . Они подобны по третьему признаку подобия треугольников**. Так как стороны не только пропорциональны, но и равны, то коэффициент подобия . Следовательно, Δ и Δ равны.

** см. Билет 31.

Билет 7.

На чертеже:

– накрест лежащие;

– односторонние;

– соответственные.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Рис.7.1

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство: Пусть , и секущая , пересекающая их, образует накрест лежащие углы и . Проведем перпендикуляр из точки к прямой и из точки к прямой . Данные треугольники будут равны по углу и двум сторонам (общ.), отсюда .

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Доказательство: Обратимся к рис.7.1. Докажем, что соответственные углы, к примеру, равны. Так как углы – вертикальные, то . Углы равны как накрест лежащие, следовательно,.

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, сумма односторонних углов равна .

Доказательство: Обратимся к рис.7.1. Докажем, что сумма односторонних углов, к примеру, равна . Углы равны как накрест лежащие. Углы смежные, поэтому их сумма равна . Но , следовательно, , что и требовалось доказать.

Билет 8.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Площадь круга:

Площадь кругового сектора

Так как площадь круга равна , то площадь кругового сектора ограниченного дугой в равна . Отсюда площадь сектора, ограниченного дугой в градусов: .

Билет 9.

Нахождение значений , и

Пусть – равнобедренный прямоугольный треугольник.

Выразим гипотенузу через катеты по теореме Пифагора:

.

Т. к. синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, то:

Аналогично, .

Билет 10.

Вывод формулы площади треугольника

За основу возьмем формулу площади треугольника *.

Так как синус по определению – это отношение противолежащего

катета к гипотенузе, то . Отсюда, .

Подставив в исходную формулу, получаем:

иными словами, , что и требовалось доказать.

*см. Билет 32.

Билет 11.

Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу

(по теореме о сумме углов треугольника**)

** см. Билет 15.

Билет 12.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Определение: Сумма углов n-угольника равна

Доказательство: Пусть  — данный выпуклый многоугольник, и . Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам диагонали: . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на треугольника: ΔΔΔ. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть . Следовательно, сумма углов n-угольника равна . Теорема доказана.

Билет 13.

Деление отрезка на равных частей

Пусть – данный отрезок. Проведем из точки луч , не содержащий отрезок . Отложим от точки на построенном луче равные отрезки: ,  . Соединим точки и . Проведем через точки ,  прямые, параллельные* прямой . Они пересекают отрезок в точках ,   . Отрезки ,   – искомые отрезки.

* см. Билет 45.

Билет 14.

Зависимость между стороной правильного n-угольника и радиусом описанной и вписанной окружности

Рассмотрим рис.14.1. В прямоугольном треугольнике Δ где – величина угла правильного n-угольника. Эту величину можно найти по формуле (следствие из теоремы о сумме углов многоугольника**). Отсюда . Тогда сторона ; а . Из последней формулы выразим . Подставим вместо получившееся выражение: .

Рис.14.1

Рассмотрим несколько частных случаев:

Для равностороннего треугольника:

Для квадрата:

Для правильного шестиугольника:

** см. Билет 12.

Билет 15.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Теорема о сумме углов треугольника

Определение: Сумма углов треугольника равна .

Доказательство: Рассмотрим рис.15.1. Углы и равны как накрест лежащие. Аналогично, . Но углы , и образуют развернутый угол, следовательно, их сумма равна . тогда сумма соответствующих углов треугольника также равна , ч. т. д.

Рис.15.1

Билет 16.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

См. Билет 6.

Примечание: при доказательстве признаков равенства прямоугольных треугольников следует принимать во внимание, что один прямой угол у них итак равен.

Билет 17.

Признаки параллелограмма

1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство: Пусть – данный четырехугольник, – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. ΔΔ по первому признаку равенства треугольников (по условию теоремы, , как вертикальные углы). Следовательно, . А они являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей . По признаку параллельности прямых прямые и параллельны. Так же доказываем, что и тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.

   

   

2. Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. Доказательство: Пусть – данный четырехугольник. и . Тогда ΔΔ по первому признаку равенства треугольников (, как внутренние накрест лежащие между прямыми и и секущей , по условию, – общая). Следовательно, , а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей . По теореме признаке параллельности прямых и параллельны. Значит, – параллелограмм. Теорема доказана.

   

3. Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм. Доказательство: Пусть дан четырехугольник . и. Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников и . По теореме о сумме углов треугольника, получаем: . Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то и . Углы и являются внутренними односторонними для прямых и и секущей , их сумма равна , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые и параллельны. Так же доказывается, что . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм по определению. Теорема доказана.