Электрический потенциал

Так как электрическое поло безвихревое (rot Е = 0), то можно найти такую скалярную функцию φ, градиент кото­рой, взятый со знаком плюс или минус, равен вектору напряженности поля E:

В теории поля выбирают знак минус, который указывает на то, что напряженность поля направлена в сторону убывания φ. Скалярная функции φ называется потенциальной функцией или просто потенциалом.

Приращение потенциала между двумя бесконечно близкими точками поля равно dφ = —Е dl. Если точки находятся на линии вектора Е, то dφ = —Е dn, где dn — расстояние между выбранными точками.

Потенциал любой точки поля можно определить из выражения

Постоянная интегрирования определяется заданием точки с нулевым потенциалом. Потенциал измеряется в вольтах (В).

Разность потенциалов между двумя точками поля а и b и напряженность поля связаны соотношением

Легко показать, что разность потенциалов не зависит от формы пути интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек. Проведем в поле произвольную замкнутую кривую а—1—б—2—а.

Так как циркуляция вектора Е равна нулю, то

Разобьем этот интеграл на два интеграла; их сумма равна нулю:

или

Если изменить направление обхода b2а на обратное, то знак интеграла при этом изменится и

т. е. значение линейного интеграла не зависит от выбора пути, а зависит только от положения точек а и б.

Потенциал поля точечного заряда легко найти, подставив в формулу значение Е из формулы :

.

Так как 1_Rdl=dR, то

Если принять потенциал равным нулю при R =∞, то постоянная интегрирования обратится в нуль и

Потенциал поля неподвижных объемных, поверхностных и линейных зарядов можно получить методом наложения

Зная потенциал, можно найти напряжённость электрического поля по формуле :

В поле объемных зарядов вектор Е везде конечен и непрерывен. В поле поверхностных зарядов вектор Е конечен всюду, но претерпевает разрыв на поверхности S, по которой распределен заряд. В поле линейных зарядов вектор Е обращается в бесконечность на линии L, вдоль которой распределен заряд.

2. Уравнения пуассона и лапласа

Как было показано выше, электростатическое поле можно рассчитать, пользуясь методом наложения и выражениями напряженности и потенциала поля точечного заряда или пользуясь интегральной теоремой Гаусса. Оба метода расчета применимы только при расчете полей простой конфигурации.

В общем случае расчет поля состоит в решении уравнений Пуассона и Лапласа.

Чтобы получить эти уравнения, используем соотношения

Подставив Е, получим:

Дивергенцию градиента принято называть лапласианом и обозначать∇2φ. Следовательно,

В тех точках поля, в которых нет заряда,

Формула носит название уравнения Пуассона. Формула — уравнения Лапласа. Решение может быть записано в виде интеграла:

Введение понятия потенциала облегчает расчет электростатических полей. Он сводится к определению одной скалярной функции φ, зная которую, можно легко определить напряженность поля из выражения

Непосредственное определение напряженности поля из уравнения

свелось бы к нахождению трех скалярных функций, соответствующих трем проекциям вектора Е, что значительно сложнее.