7.6. Операторный метод

7.6.1.Основные понятия

Операторный метод как математический метод интегрирования линейных дифференцированных уравнений создан в 1862 г. М. Ващенко-Захарченко. Хевисайд в конце XIX веке применил для расчета переходных процессов.

преобразование Лапласа.

При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяют их операторными изображениями. Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа (преобразование Лапласа)

где - комплексное число, т.е. операторное изображение действительной функции, является функцией комплексного числаp.

В результате операции дифференцирования и интегрирования оригиналов заменяются алгебраическими операциями над их изображениями – происходит алгебраизация дифференцированных уравнений, т.е. дифференцированные уравнения для оригиналов переходят в алгебраические уравнения для их изображений. Решив полученные алгебраические уравнения в операторной форме относительно искомых величин, и произведя обратное преобразование операторного изображения в оригинал, получаем решение (интеграл) исходных дифференциальных уравнений.

Соответствие между оригиналом и изображением записывают так

Размерность изображения равна размерности оригинала, умноженной на размерность времени

По определению преобразование Лапласа, применимо начиная с момента времени t = 0₊ . Поэтому под ƒ(0), ƒ'(0), ƒ"(0) и т.д. будем понимать начальные значения функции и её производных при t = 0₊ .

обратное преобразование Лапласа.

Примеры

Для электрических цепей

;

При нулевых начальных условиях

7.6.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.

где - операторное сопротивление цепи

и - внутренние э.д.с., обусловленное законом энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора.

Закон Ома при ненулевых начальных условиях

- I-й закон

- II-й закон

При нулевых начальных условиях

Очевидно, что полученные выражения тождественны по структуре выражениям, написанным для тех же электрических цепей при их расчете символическим методом. А это значит, что все известные методы расчета, основанные на законах Кирхгофа (метод контурных токов, узловых потенциалов и т.п.) могут быть использованы для расчета переходных процессов операторным методом. Необходимо только учитывать начальные условия uc(0+) и iL (0+).

Для этого достаточно рассматривать члены икак э.д.с. добавочных источников энергии в контурах.

7.6.3.Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом

В общем случае расчета переходных процессов операторным методом алгоритм расчета токов:

1. Записываются интегро-дифференциальные уравнения для после- коммутационной схемы на основании законов Кирхгофа для мгновенных значений. В зависимости от конфигурации схемы можно применить один из известных методов расчета цепей (контурных токов, узловых потенциалов и т.д.)

1.1.Определяют внутренние э.д.с. ирасчетом цепи до коммутации и определением независимых начальных условийuc(0+) и iL(0+), при этом направление внутренней э.д.с. индуктивности совпадает с током, а направление внутренней э.д.с. емкости противоположно направлению тока ветви с конденсатором.

1.2.Пользуясь преобразованиями Лапласа или готовыми таблицами преобразования, находят изображения заданных входных напряжений, э.д.с., токов источников тока.

2. В полученных уравнениях производят замену оригиналов функций времени на их операторное изображение, с учетом независимых начальных условий – токов через индуктивные элементы и напряжений на емкостных элементах, рассчитанных из докоммутационной схемы.

3. Полученные алгебраические уравнения для операторных изображений решают относительно изображения искомой функции.

4. На основе полученного изображения находится оригинал искомой функции.

Практически при расчете переходных процессов операторным методом можно обойтись без записи интегро-дифференциальных уравнений.

Алгоритм расчета в таком случае следующий:

1. Заменяют исходную послекоммутационную схему на операторную схему (или схему для изображений). При этом следует руководствоваться следующими советами

Здесь итак называемые внутренние э.д.с. учитывающие независимые начальные условия – токи через индуктивные катушки и напряжение на конденсаторах, рассчитанные из докоммутационной схемы.

Внимание.

1. Всегда совпадает с , а – противоположно по направлению с.

1. Очевидно, что операторная схема может быть получена из исходной, предназначенной для установившегося гармонического режима путем замены и на и и с учетом ненулевых начальных условий.

1. Для полученной операторной схемы рассчитываем изображения искомых токов и напряжений одним из известных из ч. I курса методов (непосредственного применения законов Кирхгофа, контурных токов и т.д.).

2. На основе полученных изображений находится оригинал искомой функции.