7.4. Расчет цепи при воздействии э.Д.С. Произвольной формы. Интеграл Дюамеля

Анализ переходных процессов показал, что ток на входе цепи i(t) пропорционален входному напряжению, вызвавшему этот ток:

,

т.к. – переходная проводимость цепи.

Таким образом, цепь в общем случае может рассматриваться как пассивный двухполюсник с переходной проводимостью Y(t).

Идея метода

Заменим действительную кривую u(t) приближенно ступенчатой с интервалами по оси t, равнымиx. Тогда ток в любой момент времени t можно рассматривать как результат воздействия серии скачкообразных постоянных напряжений, следующих друг за другом через промежуткиxв интервале от 0 до t.

Скачки напряжения: ;.

Составляющая тока, вызванная отдельным скачком напряжения, действующим в момент xравна

,

где – переходная проводимость от моментавозникновения данного скачка напряжения до моментаtотсчета значения тока.

Весь ток i(t) является суммой составляющих тока, вызванных отдельными скачками напряжений.

или – интеграл Дюамеля.

где .

Интеграл Дюамеля позволяет решить задачу о включении цепи под действием напряжения u(t) произвольной формы, причемY(t) определяется в итоге решения более простой задачи – включения той же цепи под действием постоянного напряжения.

Пример:

Дано:

,R,C.

Найти:

i(t) – ?

Решение:

1. Определяем Y(t) при включении цепи на постоянном напряжении. Тогда

.

2. 

3. ;;

4. 

5. .

7.5. Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Установившийся режим– напряжения и токи цепи являются периодическими или постоянными во времени соответственно при внешнем периодическом или постоянном воздействии.

Переходный режим– процесс перехода от одного установившегося состояния в другое, вызываемое коммутацией в схеме с реактивными элементами в цепи.

Практически длительность переходного процесса может составлять доли секунды, теоретически – стремится к бесконечности.

Коммутация – различные включения, переключения пассивных и активных элементов цепи, приводящие к изменению цепи и ее параметров.

Во многих случаях считают, что коммутация совершается мгновенно.

Рисунок 1 – RLC-цепь

, (1)

где i(t) – мгновенный ток в цепи;

R– активное сопротивление;

L– индуктивность катушки;

С – емкость конденсатора;

e(t) – мгновенная ЭДС.

Основные методы расчета:

а) Классический метод– искомую переходную функцию (ток, напряжение) записывают в виде суммы принужденной и свободной составляющих этой функции. Постоянные интегрирования, входящие в свободную составляющую, находят, исходя из начальных условий искомой функции и ее производных.

Число постоянных интегрирования определяется порядком диф. уравнения n. Необходимое число производных в момент коммутации (t=0) равноn-1. Вид свободной составляющей зависит от корней характеристического уравнения. Классический метод применяют для решения диф. уравнений первой и второй степени. При более высоких степенях определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения затруднительно.

б) Операторные методы. Метод преоб­разования Ла­пласа и ДТ-метод (метод Пухова) – интегрально-дифференциальные уравнения преобразо­вывают в алгебраические относительно новой переменной. Переход к алгебраическим уравнениям в методе Лапласа осуществляется интегральным преобразованием, а в новом ДТ-методе дифференциальным преобразованием,

Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно изображения искомой функции. Затем, иско­мую функцию в методе Лапласа восстанавливают в зависи­мости от вида изображения — по таблицам соответствия изображения и оригинала, формулам разложения и интегралу Бромвича.

В ДТ-методе возвращение к исходной функции происходит с помощью ряда Тейлора (Пуховым этот метод методом ДТ-преобразований, так как искомая функция преобразовывается путем ее дифференцирования, и восстанавливается применением ряда Тейлора).

В операторных методах применяют операторные схемы замещения, которые рассчитывают методами анализа установившихся процессов при источниках с постоянными ЭДС и токами.

в) Спектраль­ный (метод пре­образования Фурье) – метод основан на преобразовании Фурье. Представляет собой частный случай преобразования Лапласа и в основном применяется к абсолютно интегрируемым функциям.

Преобразование Фурье устанавливает связь между спек­тральным составом напряжения (тока) на входе, выходе и частотной характеристикой цепи, что необходимо при решении многих задач по электротехнике

Достоинством метода является сведение расчета переход­ного процесса к расчету установившегося процесса при гар­монических источниках. Однако при этом приходится ин­тегрировать сложные функции. Применение метода особен­но целесообразно, когда известна частотная характеристика схемы, а не сама схема

г) Интеграл Дюамеля – переходный процесс в схеме с нулевыми начальными условиями при воздействии источника ЭДС (тока) произвольной формы рассчитывают по уравнению, называемому ин­тегралом Дюамеля.

Применению интеграла предшествует расчет переходного процесса при включении рассматриваемой схемы к еди­ничному источнику постоянного напряжения (единичному источнику постоянного тока). При этом определяют пере­ходную функцию (для тока или напряжения)

Данный метод применяют при расчете схем с входным импульсным напряжением сложной формы.

д) Метод переменных состояния – токи и напряжения ветвей определяются по предварительно найденным значениям независимых переменных, называемых переменными состояния.

В качестве независимых переменных, обычно, принимают непрерывные во времени переменные i_L и u_C. Формируются 2 системы уравнений: систему уравнений состояния цепи и систему уравнений выходных переменных (искомых токов и напряжений).

Законы коммутации.

В электрических цепях энергия, накопленная в электрических (емкостной элемент) и магнитных (индуктивный элемент) полях, не может изменяться скачком:

W(0_‑)=W(0₊);

W_{эл.поля}=(CU²)/2; (2)

W_м.поля=(LI²)/2.

I) Ток и потокосцепление индуктивного элемента не могут изменяться скачком и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией:

i_L(0_‑)= i_L(0₊); Ψ(0_‑)= Ψ(0₊). (3)

II) Напряжение и заряд на емкостном элементе не могут изменяться скачком и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией:

u_C(0_‑)= u_C(0₊); Q(0_‑)= Q(0₊). (4)

Принужденная составляющая – определяется частным решением диф. уравнения для послекоммутационной схемы. Принужденный режим задается источниками энергии, действующими в цепи.

Свободная составляющая– разность переходного и установившегося тока или напряжения. Это общее решение однородного диф. уравнения для послекоммутационной схемы без источников ЭДС и тока. Свободная составляющая со временем затухает.

Начальные условия – значения величин и их производных в момент коммутации t=0₊.

Независимые условия – значения токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах в момент коммутации t=0₊.

Зависимые условия – остальные значения токов и напряжений в момент коммутации t=0₊.

Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом

1. В послекоммутационной схеме известными методами находят принужденные составляющие искомых токов и на­пряжений.

2. Составляют характеристическое уравнение и определяют его корни. Исходя из характера корней, записывают выражение для искомых свободных составляющих токов и напряжений через по­стоянные интегрирования. Переходные значения искомых функ­ций рассматривают как сумму найденных значений принужденной и свободной составляющих данной функции, например,

i_t = i_пр + i_св. (5)

3. Рассчитывают токи до коммутация в индуктивных i_L(0_‑) и напряжения на емкостных u_C(0_‑) элементах, в соответствии с которыми по законам коммутации определяют независимые начальные условия: i_L(0_‑)= i_L(0₊); u_C(0_‑)= u_C(0₊).

4. Зависимые начальные условия находят, например, по уравнениям Кирхгофа для послекоммутационной схемы с учетом независимых начальных условий. Постоянные интегрирования вычисляют с помощью начальных условий для искомых функций и их производных. Найденные начальные условия подстав­ляют в уравнение искомой переходной функции для t=0₊ и в уравнения его производных, записанных для t=0₊. Получен­ную систему алгебраических уравнений решают относительно по­стоянных интегрирования.

Рисунок 2 – RL-цепь. Переходные токи и напряжения

Уравнение по 2-му закону Кирхгофа:

;

; (6)

,

где u_R (t), u_L(t) – мгновенные напряжения на элементах;

E– ЭДС источника;

р – оператор Лапласа.

Корни характеристического уравнения и постоянная времени:

; (7)

. (8)

Ток через катушку индуктивности и напряжение на ней

; (9)

. (10)

Постоянная времени τ — время, в течение которого свободная составляющая тока i_Lсв в цепи RL и свободная составляющая напряжения u_Ссв в цепи RC убывают по абсолютной величине в e=2,718 раза.

Постоянная времени может быть определена графически как величина подкасательной к экспоненте. Величина подкасательных к одной и той же экспоненте постоянная, поэтому τ называют постоянной времени. Постоянная времени зависит от конфигурации и параметров послекоммутационной схемы.

Таблица 2 – Постоянная времени

t	0	τ	2 τ	3 τ	4 τ	5 τ
1–exp(-t/τ)	0	0,632	0,865	0,95	0,982	0,993
exp(-t/τ)	1	0,308	0,135	0,05	0,018	0,007