- •1. Циклические коды (цк)
- •1.1 Циклические корректирующие коды
- •1.2 Построение цк
- •1.3 Определение параметров цк(цск) по m,s,r
- •1.4 Определение параметров цк, обеспечивающих заданную вероятность передачи по каналу с шумом
- •1.5 Кодеры цск
- •1.5.1 Кодирование с помощью полинома h(X)
- •1.5.2 Кодирование с помощью полинома g(X)
- •1.6 Декодеры цск
- •1.6.1 Декодеры Меггита
- •1.6.1.1 Режим исправления и обнаружения ошибок
- •1.6.1.2 Режим обнаружения ошибок
- •1.7 Примеры
- •1.7.1 Пример 1
- •1.7.2 Пример 2
- •1.7.3 Пример 3
- •1.7.4 Пример 4
- •1.7.5 Пример 5
- •1.7.7 Пример 7
- •1.7.8 Пример 8
- •1.7.9 Пример 9
- •1.7.10 Пример 10
- •1.7.11 Пример 11
- •1.8 Справочные материалы
- •1.8.1 Теоремы бчх
- •1.8.2 Таблица неприводимых многочленов
1.3 Определение параметров цк(цск) по m,s,r
Рассмотрим методику выбора параметра БЧХ-кода, исправляющегоsнезависимых ошибок при известной длине информационной части кодаm1.
Исходя из первой и второй теоремы БЧХ, для известных m1иs` выбираем наименьшиеhи, удовлетворяющие условию:
(2)
Учитывая, что:
(3)
Получим, согласно (2):
(4)
БЧХ-код , удовлетворяющий (4), является искомым БЧХ-кодом. Отметим, что соотношение (3) является границей существования (n,m,d) линейного кода (в том числе и циклического).
Выбираем порождающий полином:
(5)
Где mi(x) – неприводимые полиномы степени не болееh, которые отыскиваются по таблиценеприводимых полиномов.
Переходим к четному минимальному кодовому расстоянию:
(6)
Находим порождающий полином:
(7)
Пример 4
1.4 Определение параметров цк, обеспечивающих заданную вероятность передачи по каналу с шумом
Одной из основных проблем, решаемых при синтезе системы передачи данных, и в частности цифровых систем телемеханики, является обеспечение высокой достоверности передачи сигнала по каналу с помехами.
В данном разделе рассмотрим методику определения параметров (n,m,d) ближайшего табличного кода БЧХ-кода, удовлетворяющего заданным требованиям по вероятности передачи сообщенийpдоп в канале без памяти (двоичный симметричный канал с независимыми ошибками) при известной вероятности ошибки на символp. В качестве аналитической модели данного цифрового канал используется биномиальное распределение ошибок (модель 1):
или пуассоновское распределение ошибок (модель 2):
,
где p(i,n) – вероятностьi-кратной ошибки, средиnпередаваемых символов;
p– вероятность ошибки при передаче элементарного сигнала;
I0– среднее число ошибок средиnпередаваемых символов,
В канале с независимыми ошибками, использующими для передачи информации ЦК (ЦСК), исправляющиеsи менее ошибок, вероятностные показатели определяются следующим образом:
(8)
(9)
здесь n– длина кода (n,m) сdmin=2s+1, определяемая из границы существования БЧХ.
Пример 5
Для ЦК(ЦСК) с четным кодовым расстоянием dmin=2s+2:
(10)
pnp,pmp,pcm – соответственно вероятности правильной передачи сообщения, трансформация сообщения (необнаруженной ошибки), стирания сообщения (обнаруженной ошибки).
Приведенные соотношения положены в основу алгоритма и программ автоматизированного проектирования цифровых каналов, использующих ЦК (ЦСК) для обеспечения заданной верности передачи (БЧХ-коды являются оптимальными блоковыми кодами в каналах с независимыми ошибками).
Пример 6
1.5 Кодеры цск
Наибольший интерес представляют систематические циклические коды, так как они позволяют наиболее просто реализовать кодирующие и декодирующие устройства. Условимся в любом систематическом циклическом коде первые символов, т.е. коэффициенты привсегда выбирать в качестве проверочных символов, а последниеmсимволов, т.е. коэффициенты при- в качестве информационных символов.
Возможны два способа кодирования информации в систематическом коде: кодирование с помощью полинома h(x) и кодирование с помощью полиномуg(x).