1.1 Циклические корректирующие коды

Основной недостаток применения групповых линейных кодов – сложность кодирующих и декодирующих устройств, являющихся устройствами параллельного типа. Переход к циклическим кодам позволяет упростить схемную реализацию кодирующих и декодирующих устройств за счет многотактных способов обработки циклических кодов с помощью сдвиговых регистров. Таким образом, в системах, использующих циклические коды, «обменивают» увеличение времени кодирования и декодирования на упрощение аппаратуры. Циклическим кодом называют такой групповой код, который замкнут относительно циклической перестановки любой кодовой комбинации этого кода, т.е. в результате циклической перестановки любого кодового вектора получается кодовый вектор, принадлежащий этому же циклическому коду.

Циклической перестановкой называется такая перестановка, при которой все разряды смещаются в сторону старших разрядов, причем последний разряд переходит на место первого.

1.2 Построение цк

Циклическим кодом называется циклического векторное пространство, обладающее всеми свойствами группового кода, но замкнутого не только относительно линейных операций, но и относительно операции циклического сдвига. В результате циклического сдвига любого кодового вектора получается кодовый вектор, принадлежащий этому же векторному пространству. В основе циклических кодов лежит алгебра полиномов по модулю над пространственным полем (полем Галуа).

Циклическим сдвигом называется такой сдвиг, при котором все разряды смещаются в сторону старших разрядов, причем последний разряд переходит на место первого.

Пусть

Тогда после циклического сдвига получим

Математической основой построения циклических кодов является представление любого двоичного числа в виде полинома, содержащего переменную Х, причем двоичные цифры являются коэффициентами при этой переменной.

Пример 1

В дальнейшем, если нет особых замечаний, высшие степени пишем справа. Над такими полиномами можно производить все операции согласно законам алгебры. Однако при всех операциях суммирование производиться по модулю 2 (без переносов в старшие разряды в отличие от арифметического суммирования).

Вычитание, используемое при делении полиномов, также необходимо осуществлять по модулю два (mod2), и оно заменяется эквивалентной операцией суммирования поmod2.

Пример 2

Циклический код полностью задаётся так называемым порождающим полиномом g(x) степениk, гдеk– число контрольных (избыточных) символов циклического кода.

Кодовые комбинации циклического кода строятся так, чтобы соответствующие им полиномы делились без остатка на g(x). С другой стороны, циклический код может быть полностью определен многочленомh(x) степениm, гдеm– число информационных символов циклического кода:

(1)

n– число разрядов (длина) циклического кода (n=m+k):

Полином, соответствующий кодовой комбинации циклического кода, имеет вид:

Циклические коды, исправляющие одну ошибку (), либо исправляющие одну и обнаруживающие две ошибки () называются циклическими кодами Хемминга.

Для циклических кодов Хемминга имеет место

Пример 3

Наибольший интерес представляют систематические циклические коды, так как они позволяют наиболее просто реализовать кодирующие и декодирующие устройства. Условимся в любом систематическом циклическом коде первые символов, т.е. коэффициенты привсегда выбирать в качестве проверочных символов, а последниеmсимволов, т.е. коэффициенты при- в качестве информационных символов.