Фильтрация и сглаживание

Задача фильтрации по Винеру формулируется следующим образом. Пусть входной сигнал представляет собой случайный процесс Z(t)при – ∞ <t< ∞ и пустьZ(t)представляет собой смесь (не обязательно аддитивную) полезного сигналаy(t) и помехи ξ(t). Требуется построить систему (фильтр) такой обработки входного сигнала, которая позволила бы получить на выходе желаемый сигналd(t),являющийся результатом определенной операцииLнад одним лишь полезным сигналомx(t):d(t) =L{x(t)}.

Обычно рассматривают следующие частные случаи:

а) d(t) = x(t)(–α) – задача фильтрации и сглаживания;

б) d(t) = x(t)– задача чистой фильтрации;

в) d(t) = y(t)(+α) – задача фильтрации и упреждения, где α >0.

При (t)= 0 задачи (а) и (в) определяются как задачи чистого сглаживания и упреждения соответственно.

Существуют самые различные фильтры (Винера, Калмана, упрощенный фильтр Калмана, (α – β) фильтр и т.д.), отличающиеся своими характеристиками.

Выбор фильтра определяется рядом противоречивых факторов (требованиями системы к точности объекта, относительной точностью фильтров, чувствительностью характеристик системы к изменению параметров модели, требованиями фильтров к вычислительным средствам и т.д.), поэтому исходят из компромиссного решения между точностью фильтра, его требованиями к вычислительным средствам и ограничениями системы.

С точки зрения требований к объему вычислений выгодно использовать фильтр экспоненциального сглаживания (ЭС):

y(t)=γe^γt

где γ– параметр фильтра.

Сравнение реализаций фильтра в непрерывном и дискретном варианте показало, что дискретный фильтр обладает практически большими преимуществами при использовании его в системе централизованного контроля. Всякий дискретный фильтр описывается разностным уравнением:

a_nx(i–n) =a_n-1x(i – n = 1) +…+a₀ x(i) =

= b_md(i-m) + b_m-1d(i–m+1) + …+ b₀d(i) (9.3.13)

где x(i)– дискретный входной сигнал,

d(i)– дискретный выходной сигнал.

Z– преобразование уравнения (9.3.13) позволяет получить выражение для передаточной функции фильтра в следующем виде:

Y(z) = d(z)/dx = (a_nz ^{- n} +…+a₀)/(b_mz ^–m +…b₀). (9.3.14)

Для фильтра экспоненциального сглаживания (ЭС)

Y(z) = γz/ (z+γ – 1). (9.3.15)

Для реализации на ЦВМ фильтра ЭС получено выражение:

d_n = x_n +ξ_n+(1-γ)[x_n-1+ ξ _n-1]+…

+(1 – γ)^n-1[x + ξ₁] + (1 – γ)ⁿ[x + ξ₀ ) (9.3.16)

где x_n – значение входного сигнала в момент времени

t = nT;

(T– интервал дискретности);

ξ_n– значение помехи в моментt = nT;

γ– параметр фильтра (0 ≤γ≤ 1).

В рекуррентной форме соотношение (9.3.16) имеет вид

d[n]=γz[n]+ (1 –γ)d[n -1].(9.3.17)

где z[n] = x[n]+ξ_n. (9.3.18)

Сглаживание является частным случаем общей задачи фильтрации сигнала.