Аналитическая градуировка и коррекция показаний датчиков

Значение выходного сигнала датчика y связанос измеряемой величиной x в общем случае монотонной зависимостьюy=f (x).Для задач управления необходимо знать истинное значение измеряемой величиныx, поэтому возникает необходимость вычислитьx по значению показателя датчикаy, т.е. нахождение функциональной зависимости

x=f (y) = F ^-1(y). (9.3.1.)

Задача решается просто, если указанная зависимость линейная. В случае если функция F(y) является нелинейной, то используют либо метод линейной интерполяции табличного значенияF(x) либо аппроксимацию функцииF(y) при помощи степенного полиномаP(y).

Для большинства датчиков механических и электрических величин, датчиков уровня и некоторых других характерна линейная зависимость:

у = ах + в,

тогда

x = (y – b)/a. (9.3.2.)

Если функция f(y) является нелинейной, можно выразить ее с помощью известных алгебраических и трансцендентных функций, однако этот путь довольно сложен и применяется редко. Обычно функция F(x) задается в табличном виде, например, по экспериментально снятым точкам в диапазоне предполагаемых измерений. Простейшим алгоритмом нахожденияxпри этом считается линейная интерполяция таблицы с заданным шагом Δx.

Недостатком такого алгоритма является большой объем памяти ЭВМ, т.к. необходимо запоминать всю таблицу. Поэтому наиболее удобным методом оказывается аппроксимация функции f(y) при помощи степенного полинома

P_n(y) =a₀ + a₁ y +….a_n y.

При этом объем вычислений мал, а в памяти машины хранятся только nкоэффициентов полинома (обычноn невелико). Для вычисления значений полинома в любой точке применяется схема Горнера, когда аппроксимацияf(y)записывается в виде

P_n(y) = (((…(a_ny + a_n-1)y + a_n-2)y +.a₀ . (9.3.3.)

Коэффициенты полинома a_i (I = 0,1,…,n)заносятся в память машины в порядке убывания номеров их индексов. Блок схема алгоритма приведена на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Блок схема алгоритма по схеме Горнера

Аппроксимацию табличных данных обычно проводят либо полиномом равномерного наилучшего приближения, либо с помощью полинома регрессии. В первом случае полученный полином дает минимальное значение максимальной ошибки линеаризации в диапазоне аппроксимации, во втором – минимальное значение среднеквадратической погрешности (при фиксированной степени полинома n).

Для уменьшения времени вычислений и требуемой памяти ЦВМ желательно выбирать аппроксимирующий полином наименьшей степени, но обеспечивающий допустимую погрешность Δx_доп. При аппроксимации полиномом равномерного наилучшего приближения должно выполняться требование

[δ_i] ≤δ_max≤ Δx_доп, (9.3.4.)

где δ_i – погрешность аппроксимации в каждой заданной точкеy_i(i= 1,2,…,n), выражающаяся формулой

δ_{i =} P_n(y_i ) –x_i.

Это условие можно записать в виде

δ_max + P_n(y_i ) – x_i ≥ 0, (9.3.5.)

i = 1,2,…m

δ_max + x_i – P_n(y_i ) ≥ 0. (9.3.6.)

δ_max ≥ 0 (9.3.7.)

Для полинома равномерного наилучшего приближения требуется найти минимум линейной формы, которой в данном случае является величина

L_n =δ_max (a_n,….a₀ ) → min. (9.3.8)

{a_i}

Эта задача сводится к задаче линейного программирования, где (9.3.8.) является целевой функцией, а (9.3.5.)…(9.3.7.) ограничениями. Если допустимая величина ошибки Δx_доп меньшеL_n, следует увеличить степень полинома на единицу, найти для негоL_n+1и опять проверить неравенство Δx_доп ≥L_n+1.

Итак, если аппроксимирующий полином есть, значения измеряемой величины вычисляются по схеме Горнера на основе показаний датчика; если аппроксимирующий полином не задан и в памяти ЦВМ записана вся градуировочная таблица, то расчет значений проводится по интерполяционной формуле.

В ряде АСУТП информация об измеряемых параметрах выражается в ЭВМ правильной дробью α, изменяющейся от 0 до 1 при изменении параметра от минимального до максимального значения. Тогда вычисление абсолютных величин давления, перемещения, объема, осуществляется по формуле:

P_t=P_max· α (9.3.9)

где P_t- текущее значение параметра (кг/см², м, м³);

P_max- максимальное значение шкалы датчика соответствующего параметра.

Преобразование температурных (параметров) сигналов производится по формуле:

Θ_t=θ_min+ (θ_max –θ_min) · α, (9.3.10.)

где θ_max, θ_min– максимальное и минимальное значения шкалы датчика температуры (˚C).

Объемные (м/ч) и весовые (кг/ч) расходы определяются соответственно по формулам:

Θ_t= θ_max√ α (9.3.11.)

G_t=G_max√ α (9.3.12.)