Неоднородное уравнение

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

(4)

В некоторых случаях для неоднородного уравнения (4) удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов, исходя из заранее известного вида последнего. Тогда для получения общего решения неоднородного уравнения (4) остается прибавить к найденному частному решению общее решение соответствующего однородного уравнения:

.

Укажем эти случаи и соответствующие им виды частных решений.

1. x(t)=P(t), где P(t) – полином от t, который может, в частности, быть заданным постоянным числом, отличным от нуля. Тогда, если 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения (4) можно найти в виде

,

где Q(t) – полином той же степени, что и P(t), но с неопределенными коэффициентами.

Если же 0 – есть корень характеристического уравнения кратности k, то

.

2. . Если числоане является корнем характеристического уравнения, то

.

Если аесть корень характеристического уравнения кратностиk, то

3. , где и - полиномы отt. (Эти полиномы, в частности, могут быть постоянными числами, и один из них может быть тождественным нулем.) Пустьm есть наивысшая из степеней полиномов и . Тогда если числоa+jb не является корнем характеристического уравнения, то

,

гдеи - полиномы степениm с неопределенными коэффициентами.

Если a+jb есть корень характеристического уравнения кратности k, то

.

4. , где- функции вида, рассмотренного в пунктах 1 – 3. Если- суть частные решения, соответствующие функциям, то

является частным решением всего уравнения (4).