Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
При построении теории технических систем необходимо математическое описание отдельных узлов, которое заключается в связи входного и выходного сигнала. Во многих случаях эта связь представляет собой дифференциальное уравнение. Поэтому для полного освоения теории необходимо уметь решать наиболее простые дифференциальные уравнения. Все технические узлы делятся на две группы: линейные и нелинейные. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Такие уравнения всегда могут быть решены, что делает теорию линейных систем наиболее продвинутой. Нелинейные системы описываются более сложными дифференциальными уравнениями, либо, как в случае релейных систем, вообще не могут быть выражены гладкими функциями. Поэтому в теории нелинейных систем используется современная математика, что позволяет относить этот раздел науки скорее к математике, чем к автоматике.
Линейное дифференциальное уравнение имеет следующий вид:
,
где
-
постоянные
вещественные числа;
x(t)
– некоторая
функция от аргумента t,
в качестве которого чаще всего выступает
время;
y
– также
функция t.
В теории технических систем обычно считают, что х – это входной сигнал, а y – это выходной сигнал. Уравнение в сущности задает связь входного и выходного сигнала.
Рассмотрим
сначала однородное линейное дифференциальное
уравнение, у которого функция х(t)=0,
т.е. в правой части стоит ноль. Такое
уравнение имеет фундаментальную систему
решений
,
определенную при всехt
и состоящую из степенных, показательных
и тригонометрических функций.
Соответствующее ей общее решение
определено во всем пространстве.
Излагаемый ниже метод построения указанной выше фундаментальной системы решений носит название метода Эйлера и состоит в том, что частное решение уравнения (1) ищется в виде:
(2)
где - некотрое постоянное число (вещественное или комплексное), подлежащее определению.
Подставим функцию (2) в уравнение (1):
,
откуда следует, что должно удовлетворять уравнению:
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (1).
Структура фундаментальной системы решений (а следовательно, и соответствующего ей общего решения) зависит от вида корней характеристического уравнения (3). Различают три случая.
Все корни характеристического уравнения различны и вещественны. Обозначим их через
Тогда фундаментальная система решений
будет
,
а общее решение имеет вид:
.
Все корни характеристического уравнения различны, но среди них имеются комплексные. Пусть
- комплексный корень характеристического
уравнения. Тогда
- тоже будет корнем этого уравнения.
Этим двум корням соответствуют два
линейно-независимых частных решения:
Если корни 1 и 2 чисто мнимые (a=0), то соответствующими линейно – независимыми частными решениями будут:
Написав
линейно – независимые частные решения,
соответствующие другим сопряженным
парам комплексных корней и всем
вещественным корням, получим фундаментальную
систему решений. Линейная комбинация
этих решений с произвольными постоянными
коэффициентами даст общее решение
уравнений (1). При этом корням
в формуле общего решения соответствует
выражение вида:
.
Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Пусть 1 есть вещественный k-кратный корень. Тогда ему соответствует k – линейно – независимых частных решений вида:
,
а в формуле общего решения – выражение вида:
.
Если
есть пара комплексно-сопряженных корней
кратностиk, то им
соответствуют 2kлинейно – независимых частных решений
вида:
В формуле общего решения этим корням соответствует выражение вида:
.
Написав линейно – независимые частные решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений.
Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (1).