- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Функция conv()
- •1.2.5. Функция polyval ()
- •1.3. Операции с передаточными функциями звеньев
- •1.3.1. Сложение передаточных функций
- •1.3.3. Функция series ()
- •1.3.5. Функция feedback ()
- •Алгебра вектор и матриц Создание векторов и матриц
- •Изменение размера вектора или матрицы
- •Математические операции с векторами и матрицами
1.3.5. Функция feedback ()
Функция feedback () применяется для образования передаточной функции замкнутой системы по известным передаточным функциям разомкнутой системы и цепи обратной связи.
Она имеет вид:
feedback (q, goc, ±)
где;
goc – передаточная функция цепи обратной связи
± – указывает вид обратной связи ( -1 – положительная, + – отрицательная)._
Пример 1.10
Структурная схема системы управления приведена на рис. 2.11.
Рис. 2.11. Структурная схема системы управления
Передаточную функции звеньев имеют вид:
Передаточная функция цепи обратной связи образует отрицательную обратную связь с коэффициентом передачи, равным 1.
Необходимо получить передаточную функцию замкнутой системы управления:
Передаточная функция Q(S) определяется по выражению.
Из этого выражения и структурной схемы видно, что для получения передаточной функции замкнутой системы необходимо вначале образовать с помощью функции tf () звенья Q1(S) и Q2(S), затем посредством функции series о образовать передаточную функцию разомкнутой системы и после этих процедур использовать функцию feedback () для образования передаточной функции замкнутой системы.
>> z1=[142773 90 1]; >> m1=[256 4]; >> q1=tf(z1,m1); >> z2=[0,8]; >> m2=[798 6]; >> q2=tf(z2,m2); >> Q=series(q1,q2)
Transfer function: 1.142e006 s^2 + 720 s + 8 ------------------------- 204288 s^2 + 4728 s + 24 >> feedback(Q, [1]) Transfer function: 1.142e006 s^2 + 720 s + 8 --------------------------- 1.346e006 s^2 + 5448 s + 32 >> |
Пример 1.11
Структурная схема системы управления приведена на рис. 2.13.
Необходимо получить передаточную функцию замкнутой системы
Рис.2.13. Структурная схема системы
с гибкой отрицательной обратной связью
Передаточные функции звеньев имеют вид:
>> z1=[142773 90 1]; >> m1=[256 4]; >> q1=tf(z1,m1); >> z2=[0,8]; >> m2=[798 6]; >> q2=tf(z2,m2); >> feedback(q1,q2,-1)
Transfer function: 1.139e008 s^3 + 928458 s^2 + 1338 s + 6 --------------------------------------- 1.346e006 s^2 + 5448 s + 32
|
Сложение комплексных чиcел
Пример 1
Z1=1+4i, Z2= 4-6i;
Z1+Z2=1+4i+4-6i=5-2i;
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Z1=1+4i, z2=4-6i;
Z1-z2= 1+4i-4-6i=-3-2i;
Умножение комплексных чисел
Пример 3
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа
Z1=1,Z2=-2 ,,,,,,
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,. Выполним чертёж:
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.
Деление комплексных чисел
Пример 4
, , а
Пример 5
Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме).
В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение, то есть на:
Пример 6
Даны два комплексных числа,. Найти их сумму, разность, произведение и частное.
5 + 2i + 2 - 5i = (5 + 2) + (2 - 5)i = 7 - 3i
5 + 2i - (2 - 5i) = (5 - 2) + (2 + 5)i = 3 + 7i
(5 + 2i) · (2 - 5i) = 5·2 - 5·5i + 2·2i - 2·5i2 = 10 - 25i + 4i + 10 = 20 - 21i
5 + 2i |
= |
(5 + 2i)(2 + 5i) |
= |
5·2 + 5·5i + 2·2i + 2·5i2 |
= |
10 + 25i + 4i - 10 |
= |
29i |
= |
1i |
2 - 5i |
(2 - 5i)(2 + 5i) |
2·2 + 5·5 |
4 + 25 |
29 |
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:
Пример 7
Представить в тригонометрической форме комплексные числа
1)
Найдем модуль и аргумент заданного комплексного числа:
Тогда
2)
аргумент
Отсюда получаем, что
Пример 8
Запишите в тригонометрической форме числа ,,,.
Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
Пусть ,. Найдем произведение:
Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому
Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа . Значит,
иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Аналогично можно доказать, что
иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.
Несложно проверить, что если , то
Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где-- натуральное число.
Пусть . Тогда
то есть
Далее находим
то есть
Продолжая умножения дальше, придем к формуле
|
Эта формула называется формулой Муавра.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число: z=3+2i
z2=(3+2i)(3+2i)
z2=*(3+2i)2=32+3*2*2i+(2i)2=9+12i-4=5+12i
Пример 10
Вычислить если
По первой формуле Муавра получаем:
|
Пример 11
Возвести в степень комплексные числа i8,i31, (-i)19
i8 = (i2)4 = (-1)4= 1
i31=i*i30=i*(i2)15=i*(-1)15=i*(-1)=-i
(-i)19=(-1)19*i19=-i*i19=-i*(i2)9=-i*(-1)9=i
Пример 12
Решить уравнение .
Решение. Вычисляем дискриминант
. Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратныхкорней из комплексного числа:
.
Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:
или ; .
Ответ: .
Пример 13
разложить трехчлен 2x 2 – 4x – 6 на множители первой степени.
Р е ш е н и е . Во-первых, решим уравнение: 2x 2 – 4x – 6 = 0. Его корни:
x1 = –1 и x2 = 3. Отсюда, 2x 2 – 4x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 ) .
Пример 14
, если . Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости.
Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное числовтригонометрическую форму. Плюс чертёж.
Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.
1) Сначала упростим числитель. Подставим в него значение , раскроем скобки и поправим причёску:
В ходе преобразований используются совершенно бесхитростные вещи – правило умножения многочленов и уже ставшее банальным равенство . Главное, быть внимательным и не запутаться в знаках.
2) Теперь на очереди знаменатель. Если , то:
Заметьте, в какой непривычной интерпретации использована формула квадрата суммы . Как вариант, здесь можно выполнить перестановку под формулу . Результаты, естественно, совпадут.
3) И, наконец, всё выражение. Если , то:
Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-ое место:
На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.
Обозначим наше достижение буквой
Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас: Вычислим модуль комплексного числа:
Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти , то:
Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.
Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.
Выполним проверку: ,
.
Ответ:
Операции с числами
Ввод действительных чисел
»1.8954896е-12
ans =
1.8955e-012
»
Командное окно
Окно с названием форматов (numericformat)
»1.89547896e-12
ans =
1.895478960000000e-012
»
Результат с форматомLongE
Ввод комплексных чисел
» 2+i*9
ans =
2.000000000000000 + 9.000000000000000i
» y=8+6j
y =
8.000000000000000 + 6.000000000000000i
»
Обозначение мнимой части
Элементарные математические функции
Элементарные действия с комплексными числами
Арифметические действия с комплексными числами
» x=2+i*9; y=8+6j; disp (x+y)
10.00000000000000 + 15.000000000000000i
» disp (x-y)
-6.00000000000000 + 3.000000000000000i
» disp (x*y)
-38.00000000000000 + 84.000000000000000i
» disp (x/y)
0.700000000000000 + 0.600000000000000i
» disp (x\y)
0.823529411764706 -0.705882352941177i
» disp (x^y)
8.612852068220047e+003 – 1.305957650714636e+004i
»
Функции комплексного аргумента
Комплексные числа от элементарных функций
» disp (x*y)
-38.00000000000000 + 84.000000000000000i
» disp (x/y)
0.700000000000000 + 0.600000000000000i
» disp (x\y)
0.823529411764706 - 0.705882352941177i
» disp (x^y)
8.612852068220047e+003 – 1.305957650714636e+004i
» disp (sqrt(-3))
0 + 1.732050807568877i
» disp (abs(x))
9.219544457292887
» disp (exp(y))
2.862227284910554e+003 – 8.329258610593317e+002i
» disp (sin(x))
3.684056738456527e+003 -1.686036345689945e+003i
» disp (sqrt(x))
2.368495773406920 + 1.899940059224610i
»
Комплексные числа от дополнительных функций
» x=2+i*9; y=8+6j;
» disp (real (y))
8
» disp (imag (x))
9
» disp (angle (y))
0.643501108793284
» disp (conj (y))
8.000000000000000 – 6.0000000000000000i
»
» v=[ -1, -1+2i, -5,4, 5i,-1-2i,-5i]
v =
columns 1 through 2
-1.00000000000000 -1.0000000000000000 + 2.000000000000000i columns 3 through 4
-5.00000000000000 4.0000000000000000
columns 5 through 6
0 + 5.00000000000000i -1.0000000000000000 -2.00000000000000i
column 7
0 - 5.00000000000000i
» disp (cplxpair(v))
Columns 3 through 2
-1.000000000000000000 – 2.000000000000000000 -2.0000000000000