1.2 Криволинейное движение точки

Вариант 6

Стрелок стреляет в цель, находящуюся в L=40м о него по горизонтали. На сколько ниже цели ударит пуля, если скорость вылета ее равна по величине и направленна по горизонтали? Сколько времени длится полет пули? Сопротивлением воздуха пренебречь. (

Расчётная схема представлена на рисунке 2.

Начальные условия движения точки:

Векторное уравнение движения точки (1) (с учетом только силы тяжести):

Дифференциальные уравнения точки (2):

После сокращения на

Интегрируем

y =

Записываем эти уравнения для

Уравнение для проекций скорости:

Уравнение для координат:

y=

Запишем конечные условия для нахождения -конечного иh.

Тогда:

Длительность полета пули

Расстояние ниже цели

2. Применение общих теорем динамики к исследованию движения материальной точки. Принцип Даламбера

Для решения многих задач динамики вместо метода интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более удобным пользоваться так называемыми общими теоремами, являющимися следствиями основного закона динамики. Применение общих теорем использует результаты интегрирования, которые были проделаны при выводе этих теорем. Основными динамическими характеристиками движения точки являются импульс и кинетическая энергия.

Импульсом материальной точки (количеством движения) называется вектор.

При действии постоянных сил теорема об изменении импульса материальной точки формулируется следующем образом: изменение импульса материальной точки под действием постоянных сил равно импульсу равнодействующей всех сил за этот же промежуток времени.

,

–скорость точки в начальный момент времени

–скорость точки в конечный момент времени

Проектируем это векторное равенство на оси координат, получаем три скалярных равенства:

(2)

Теорема об изменении импульса точки дает возможность определять изменение скорости точки как результат действия силы во времени, то есть импульса силы. Эту теорему выгодно применять, когда заданы силы и продолжительность их дейcтвия.

Кинетической энергией материальной точки называют величину

Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

то есть изменение кинетической энергии точки на каком- либо перемещении равно алгебраической сумме работ сил, действующих на точку на том же перемещении.

Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении:

(4)

Для работ сил трения

(5)

Работа силы тяжести:

(6)

где h- разность высот начального и конечного положения точки.

Работа силы тяжести точки равна произведению веса точки на величину вертикального перемещения и не зависит от формы траектории, а зависит только от крайних её положений. Работа силы тяжести положительна, если конечное положение ниже начального, и отрицательна в противоположном случае.

Работа силы упругости:

где с- коэффициент жесткости пружины ;

-деформация пружины.

Работа линейной силы упругости не зависит от формы перемещения и работа по замкнутому пути равна нулю. Работа отрицательна, если пружина переходит из естественного состояния в деформированное, и работа положительна, если пружина переходит из деформированного состояния в естественное.

Теорема об изменении кинетической энергии позволяет рассматривать движение с энергетической точки зрения. Её применение целесообразно в тех случаях, когда удается подсчитать работу, совершенную силами, приложенными к материальной точке.