Численное интегрирование

Цель работы. Изучение методов численного интегрирования функции одной переменной.

Задание. 1. Bычислить значение определенного интеграла аналитически и численно четырьмя методами для пяти значений N, где N- число разбиений интервала интегрирования N=10; 20; 50; 100; 1000. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы (табл.5).

Таблица 5

N	Аналит. значение	Метод прямоуг. 1	Метод прямоуг. 2	Метод трапеций	Метод Симпсона
10
20
50
100
1000

2. Построить графики функций I=F(N).

Варианты интегралов. Варианты интегралов приведены в табл.6.

Таблица 6

Вар.	Вид интеграла	Вар.	Вид интеграла
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13		26

Математическое описание. Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от а до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении всех промежутков xi к нулю

.

При приближенном вычислении определенного интеграла шаг интегрирования x выбирается конечным. Заменяя подынтегральную функцию на каждом шаге отрезками линий нулевого, первого и второго порядков, получаем приближенные формулы для вычисления интеграла методами прямоугольников, трапеций и Симпсона соответственно ()

,

где h - шаг по x, - значения функции при х равномсоответственно. Для метода прямоугольников приведены две расчетные формулы, так как площадь прямоугольника на каждом шаге интегрирования может определяться по левой или правой стороне. Суть метода прямоугольников проиллюстрирована на рис.6, при этом площадь под кривой f(x) (вспомните геометрический смысл определенного интеграла) заменена суммой площадей заштрихованных прямоугольников.

Рис.2с

Cодержание отчета:

1. Название, цель работы и задание .

2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.

3. Таблица результатов расчета, пять графиков зависимости I(N) для четырех численных методов и точного значения интеграла, выводы по работе.

Лабораторная работа №3

Численное решение дифференциальных уравнений

Цель работы. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений.

Задание. 1. Решить дифференциальное уравнение аналитически и численно указанными методами для двух значений шага интегрирования h=0.01; 0.001 . Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы (табл.8).

2. Построить графики функций y(x) (5 графиков).

Варианты уравнений. Варианты уравнений и методов их решения приведены в табл.9.

Таблица 8

D	Решения уравнения, у(x)
	аналит.	Численное
х		метод 1			метод 2
		h=0.01	h=0.001	h=0.01		h=0.001

Таблица 9

Вар.	Вид уравнения	Метод	Вар.	Вид уравнения	Метод
1	у'=(xy2+x)/(y-x2y)	1,4	14	у'=cos(t)-y	3,5
2	у'=(1-2x)/y2	2,4	15	у'=exp(bx)-ay	1,4
3	у'=(1-x2)/xy	3,4	16	у'=-2y/(y2-6x)	2,4
4	у'=(y2-y)/x	1,5	17	у'=1/(2x-y2)	3,4
5	у'=(1+y)/(tg(x)	2,5	18	у'=sec(x)- y tg(x)	1,5
6	у'=exp(x)-1	3,5	19	у'=(exp(x)-y)/x	2,5
7	у'=y ln(y)/sin(x)	1,4	20	у'=1+y/(x(x+1))	3,5
8	у'=(1+y2)/(1+x2)	2,4	21	у'=(y+yx2-x2)/(x(1+x2))	1,4
9	у'=4x-2y	3,4	22	у'=cos(x-y)	2,4
10	у'=x exp(-x2)-2xy	1,5	23	у'=3x-2y+5	3,4
11	у'=2x-y	2,5	24	у'=sin(x)-y	1,5
12	у'=exp(-x)-2y	3,5	25	у'=exp(x)-y	2,5
13	у'=exp(-x)-2x	1,4	26	у'=exp(2x)-1	3,5

Примечание. Значение параметров a,b и начальные условия y|x=xo=yo выбрать cамостоятельно.

Математическое описание. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y). Расчетные зависимости для одного шага интегрирования имеют следующий вид.

1.Метод Эйлера.

уi+1=уi+hf(xi,yi),

xi+1=xi+h.

2.Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

уi+1=уi+hf(xi+h/2,yi+hf(xi,yi)/2),

xi+1=xi+h.

3.Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

уi+1=уi+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],

xi+1=xi+h.

4.Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

уi+1=уi+(k1+4k2+k3)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2,yi+k1/2),

k3=hf(xi+h,yi+2k2-k1),

xi+1=xi+h.

5.Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2,yi+k1/2),

k3=hf(xi+h/2,yi+k2/2),

k4=hf(xi+h,yi+k3),

xi+1=xi+h,

где уi+1,уi - значения искомой функции в точках xi+1,xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0 .

Содержание отчета:

1. Название, цель работы и задание.

2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.

3. Результаты расчета, пять графиков зависимости y(Dx) и выводы по работе .

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Краткие сведения по языку программировании

МATLAB (матричная лаборатория)

-вычислительная среда для специалистов, занятых инженерными и научными исследованиями.

Первая версия программы появилась в конце 70-х годов.

Позднее появилось много приложений, например,:

• Simuling

• SimbolicMathematicsToolbox

• Neural Networks

• Fuzzy logic

Ситема МATLAB– это одновременно и операционная среда и язык программирования

Команды операционной среды совпадают с командами языка программирования.