Численное дифференцирование

Цель работы. Изучение методов численного дифференцирования функций одной переменной.

Задание. 1. Bычислить значение производной в произвольной точке x=x0 аналитически и численно тремя методами для пяти значений приращения аргумента Dx=1 ; 0.2 ; 0.1 ; 0.01 ; 0.001 . Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы (табл.3)

Таблица 3

Dx	y(x)	y'(x)
1
0.2
0.1
0.01
0.001

2. Построить графики функций .

Варианты функций. Варианты функций приведены в табл.4.

Таблица 4

Вар.	Вид функции	Вар.	Вид функции
1	x(t)=Aesin(wt+b)	14	y=ctg(ax)
2	x(t)=Aecos(wt+b)	15	y(x)=(e-e)
3	y(x)=ln	16	x(t)=t
4	У(t)=cos	17	y(x)=(ax)
5	Y (t)=sin(at+b)	18	y(x)=arctg
6	s(j)=	19	S(t)=
7	q(t)=(a-bt)	20	y(x)=ctg(arcsin ln)
8	y(x)=xcos(ax)	21	R(j)=arccos(a+bj)
9	y(x)=	22	r(j)=c
10	x(t)=	23	y(x)=ln(tg(ax+b))
11	R(jj)=	24	vu(t)=log(t+b)
12	S(j)=Вcоs(aj+b)	25	S(j)=Asin(aj+b)
13	y=tg()	26	x(t)=lg(at+b)

Примечание. Значение параметров a,b,c,d,m,n,A,B выбрать самостоятельно.

Математическое описание. Производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной

.

При численном определении производных заменим отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента () отношеним конечных разностей () . Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной. Приращение аргумента будем задавать тремя способами, откладываяDDx вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получим три метода численного дифференцирования:

метод 1 ;

метод 2 ;

метод 3 .

Суть указанных методов проиллюстрированa на рис.1. Численное значение тангенса угла a , образованного касательной к графику y(x) и осью абсцисс , показывает точное значение производной (геометрический смысл производной). Тангенсы углов a,a,a соответствуют численным значениям производных, определенных методами 1,2,3 соответственно (подумайте почему ?).

Рис.1.

Содержание отчета:

1. Название, цель работы и задание.

2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.

3. Таблица результатов расчета, четыре графика зависимости для трех численных методов и точного значения производной, выводы по работе .

Лабораторная работа №2