Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

.pdf
Скачиваний:
155
Добавлен:
17.01.2018
Размер:
5.08 Mб
Скачать

19

ЛЕКЦИЯ 1.3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ

1.3.1. Обратная матрица

Для рассмотрения понятия обратной матрицы и изучения алгоритма ее нахождения введем определения некоторых типов матриц.

Определение 1. Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель не равен нулю.

Определение 2. Матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов данной матрицы, называется союзной, обозначается А*:

 

А

A

A

 

 

...

A

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

13

 

 

1n

 

 

 

 

 

 

A* A21

A22

A23

 

...

A2n , где

A

1 i j M

ij

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

... ... ... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

An1

An2

An3

 

...

Ann

 

 

 

 

 

Определение 3. Матрица, полученная транспонированием союзной

матрицы, называется присоединенной, обозначается AV :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A11

A21 ...

An1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A ...

A

 

 

 

 

V

 

 

T

 

 

12

22

 

n2

 

 

 

 

 

(A*)

 

 

 

A23 ...

An3

 

 

 

 

A

 

 

A13

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A

...

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1n

2n

 

nn

 

 

 

Понятие обратной матрицы дается в следующей теореме.

Теорема 1. Если А – невырожденная матрица (det A ≠ 0) , то существу-

ет единственная матрица A–1, для которой справедливо равенство

A · А–1 = А–1 · А = Е.

Матрица A– 1 называется обратной к матрице A.

Теорема 2. Пусть дана невырожденная матрица A и AV – присоединенная матрица, тогда A·АV = АV ·А = det A·Е.

Из теорем 1 и 2 выведем формулу для нахождения обратной матрицы. Из теоремы 2 следует, что A·АV = АV·А = det A·Е, но по теореме 1 Е=.A·А–1. Тогда A·АV = det A·A·А–1. Используя свойство коммутативности ум-

ножения

матрицы на число, получаем A·АV=A·А–1·detA.

Значит

AV A 1

det A. Умножив обе части последнего равенства на число

1

,

 

det A

 

1

AV .

 

 

 

получим

A 1

 

 

 

 

det A

 

 

 

Таким образом, формула для нахождения обратной матрицы имеет вид:

20

 

 

 

1

 

A 1

det A AV .

(1.3.1)

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы методом присоединенной матрицы и методом элементарных преобразований.

Для нахождения обратной матрицы методом присоединенной матрицы необходимо:

1.Найти определитель матрицы и убедиться, что она невырожденная, то есть det A ≠ 0.

2.Вычислить алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А и составить союзную матрицу А*.

3.Протранспонировать союзную матрицу и получить присоединенную мат-

рицу AV , (A*)T = АV.

4.Найти обратную матрицу по формуле (1.3.1).

5.Выполнить проверку, используя формулу A·А– 1=А– 1·А =Е.

Обратную матрицу можно вычислить, используя следующие элемен-

тарные преобразования строк (столбцов) матрицы:

1.перемена местами двух строк (столбцов) матрицы;

2.умножение строки (столбца) матрицы на любое число, отличное от нуля;

3.умножение элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число и сложение их с соответствующими элементами другой строки (столбца);

4.транспонирование матрицы.

Для нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований необходимо:

1. Составить матрицу B (A | E) , приписывая к А справа единичную матрицу

того же порядка.

2. Используя элементарные преобразования только над строками матрицы В, приводим составленную матрицу В к виду B (E | C) , что всегда возможно,

если А – невырожденная.

3.Тогда C = A– 1.

4.Выполнить проверку A · А– 1 = E .

Определение 4. Матрица А', полученная из матрицы А путём конечного числа элементарных преобразований, называется эквивалентной к данной матрице А, обозначается А' ~ А или А' А.

Пример

Дана матрица А. Если возможно, найти ей обратную двумя методами:

 

1

2

 

 

 

2

4

1

 

а)

; б)

 

1

5

3

 

A

1

3

 

A

.

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

21

а) МатрицаA2 2

1

2

 

– квадратная. Воспользуемся алгоритмом

 

1

3

 

 

 

 

 

нахождения обратной матрицы по методу присоединенной матрицы.

1. Найдем

A

 

1

2

 

3 2 5 0, то есть матрица

А невырожденная,

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

имеет обратную.

2. Найдем Aij и составим союзную матрицу А*:

А11= (– 1)1+1 · 3 = 3, А12= (– 1)1+2 · 1 = – 1 , А21= (– 1)2+1 · 2 = – 2 , А22= (– 1)2+2 · (– 1) = – 1 .

 

3

1

A*

2

.

 

1

Протранспонируем союзную матрицу, получим присоединенную матрицу АV:

Т

V

 

3

2

 

(A*)

А

 

1

1

.

 

 

 

 

По формулеA 1 1 AV найдем A– 1:

A

 

 

 

3

2

 

 

 

 

3

2

 

A 1

1

 

А 1

 

5

5

 

 

 

 

 

,

 

.

5

1

1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполним проверку

А

А 1

 

1

2

 

 

 

1

 

3

 

2

 

 

1

1

2

3

2

 

 

1

 

 

5

 

 

 

1

 

5

 

1

3

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

0

 

1

0

Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

0

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для той же матрицы найдем обратную матрицу методом элементарных преобразований.

МатрицаA2 2

1

2

 

квадратная, невырожденная (detA= 5 ≠ 0).

 

1

3

 

 

 

 

 

1. Составим матрицу В:

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

0

 

 

B

1

3

 

0

1

.

 

 

 

2. Умножая первую строку матрицы В на 1 и прибавляя ко второй строке, получим

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

1

0

:

1

2

 

1

0

 

 

В

1 3

 

0

1

 

 

1

5

 

1

1

.

 

 

 

 

 

 

 

Умножим элементы первой строки, полученной матрицы на (– 1), а элементы второй строки на 15 , тогда

 

 

 

 

 

1

2

 

1 0

:

 

1 2

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

1 5

 

1 1

 

 

 

0 1

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножим вторую строку на 2 и прибавим к первой строке

 

 

 

 

 

1

2

 

 

1

0

 

 

1

 

0

 

 

3

5

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

0

1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Тогда

 

5

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А 1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Метод присоединенной матрицы. Матрица A3 3

 

 

 

 

– квадратная.

1. Вычислим определитель матрицы A по правилу Саррюса:

det A

 

2

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

3

 

10 12 1 5 6 4 8

 

 

 

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A = 8. Значит, матрица имеет обратную.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Составим A*:

 

 

 

 

 

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

2 , А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

2 ,

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

( 1)

1

1

 

 

 

11

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

1

5

 

4 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А ( 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

( 1)2 1

 

 

4

1

 

3,

 

 

 

 

А ( 1)2 2

 

2

1

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А ( 1)2 3

 

 

2

4

 

 

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

( 1)3 1

 

4

 

1

 

7 ,

 

 

 

 

А ( 1)3 2

 

2

1

 

5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А ( 1)3 3

 

2

4

 

6 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

2

2

4

 

 

3

1

2

 

А*

.

 

7

5

6

 

 

 

3. Найдем AV :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

V

 

 

2

1 5

 

 

 

 

(А*)

A

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

6

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1

 

AV получим

 

 

 

 

4. Тогда по формуле

 

 

 

 

 

 

det A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

7

 

 

 

 

 

A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

5

.

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Проверку выполнить самостоятельно.

Теперь найдем обратную матрицу методом элементарных преобразова-

ний.

 

 

 

2

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица

А

 

 

1

 

5

3

 

квадратная, невырожденная (detA=8≠ 0).

 

 

3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

1

 

1

0

 

0

 

 

 

 

1.

 

1

5 3

 

0

1

 

0

 

B (A | E)

 

 

.

 

 

1

1

1

 

0

0

 

1

 

 

 

 

 

 

2. Выполним элементарные преобразования строк матрицы В (поменяем местами первую и вторую строки; первую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей строке; первую строку умножим на (-2) и прибавим ко второй строке;

умножим вторую строку на 16 ; умножим вторую строку на 5 и прибавим к первой строке, умножим вторую строку на (-4) и прибавим к третьей строке; умножим третью строку на 34 ; умножим третью строку на 56 и прибавим ко

второй строке; умножим третью строку на 76 и прибавим к первой строке):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

1

 

1 0 0

 

 

1

 

 

 

5 3

 

0 1 0

 

 

 

1

 

 

 

5 3

 

0

 

1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

5

3

 

0 1 0

 

:

 

2

 

 

 

4 1

 

1

0 0

 

:

 

 

0 6

 

 

5

 

1

2 0

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

1

 

0 0 1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1 1

 

0

0 1

 

 

 

 

0 4

 

 

2

 

0

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

 

3

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

1

0

7

6

 

 

5

6

 

 

2

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

0 1

 

 

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

0

 

:

 

0 1

5

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

:

 

 

 

 

 

6

 

 

6

 

 

3

 

6

 

 

 

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0 4

 

 

2

0

 

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

3

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

6

 

 

5

6

 

 

2

 

3

0

 

 

 

 

1 0

 

0

 

1

4

 

 

 

3

8

7

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

0 1

5

6

 

 

1

6

 

 

1

3

0

 

:

 

 

0 1

 

0

 

1

4

 

 

1

8

5

8

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

0 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

3

8

 

 

 

7

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A 1

1

4

1

8

 

 

 

5

8

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.2. Ранг матрицы

С матрицей A произвольной размерности m n может быть сопоставлено неотрицательное целое число, называемой рангом матрицы А. Прежде

чем дать более точное определение ранга матрицы Am n , введем понятие ми-

нора матрицы Am n .

Пусть дана матрица Am n . Если вычеркнуть произвольным образом из этой матрицы некоторые строки и столбцы так, чтобы осталось k строк и k столбцов, то получится квадратная матрица k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы Am n , обозначается Mk.

Запишем некоторые миноры 1, 2, 3-го порядка матрицы

 

 

1

2

0

1

 

 

A

 

3

5

1

1

 

:

3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М1 = 2, М1 = 0,

 

 

 

 

M2

 

1

2

 

, M2

 

2

0

 

, M2

 

1 1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

 

 

 

5

1

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

M3

 

2

0

1

 

, M3

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

5

1

1

 

 

3

5

1

 

.

 

 

1

1

2

 

 

 

1

1

2

 

 

Теперь можно сформулировать определение ранга матрицы. Определение 5. Максимальный порядок минора матрицы Am n , отлич-

ного от нуля, называется рангом матрицы, обозначается rang (A) = r (A) = r.

Из определения ранга следует:

а) ранг матрицы не превышает наименьшего из чисел m и n, то есть

rang (Am n) min (m, n);

б) r (A) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю,

т.е. А= 0;

в) для квадратной матрицы n-го порядка r (A) = n тогда и только тогда, когда матрица A – невырожденная.

Теорема 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы.

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1.r (A + B) r (A) + r (B) ;

2.r (A + B) r (A) – r (B) ;

3.r (A B) min (r (A) , r (B));

4.r (AT A) = r (A) ;

5.r (A B) = r (A) , если A и B – квадратные матрицы и detВ 0 .

Рассмотрим алгоритмы вычисления ранга матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований.

Чтобы определить ранг методом окаймляющих миноров, необходи-

мо:

Начать выбор с минора 1-го порядка, отличного от нуля (то есть с любого элемента не равного нулю).

1.Если найденный минор k-го порядка Мk 0, то не интересуясь другими минорами k-го порядка, перейти к вычислению миноров (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор Мk.

2.Если среди миноров (k+1) – го порядка найдется минор Мk+1 0, то перейти к вычислению миноров (k+2)-го порядка и так далее.

3.Если обнаружится минор r – го порядка, такой, что все, окаймляющие его, миноры (r+1) – го порядка равны нулю, то rang(A) = r.

Пример

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

5

4

 

 

 

 

 

2

 

4

3

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

1 4

2

 

 

 

 

 

а) A=

2

6 4

3

 

; б) A=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

1

3

1

 

 

 

 

 

 

 

3

9

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

7

4

 

 

4

5

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) Запишем минор первого порядка М1 для матрицы А:

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1 3 a12,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда M2

 

 

18 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для М2 окаймляющими будут только два минора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

5

 

 

 

 

3

5

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М3

 

2

 

6

4

 

; М3

6 4

 

3

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 9

3

 

 

 

 

 

9

3 2

 

 

 

 

 

каждый из которых равен нулю (проверить самостоятельно). Поэтому rang(A)=2, а указанный минор М2 может быть принят за базисный.

б) Укажем минор М1 первого порядка для матрицы А:

М1 = а12 = – 4.

Фиксируем минор второго порядка, отличный от нуля

М2 =

 

4

3

 

 

= 2 0.

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

3

 

 

 

 

 

Минор третьего порядка М3

 

1

 

2

1

1 0, окаймляющий минор

 

 

 

0

1

 

 

1

 

 

М2 тоже будет отличен от нуля. Однако оба минора четвертого порядка, окаймляющие М3, равны нулю:

 

 

2

4

3

 

1

 

 

 

2

4

3

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М4

 

1

2

1

 

4

0,

М4

 

1

2

1

 

2

0,

0

1

1

 

3

0

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 7

4 4

 

 

 

 

4 7 4 5

 

(проверить самостоятельно). Поэтому r(A) = 3, а минор

 

 

2

4

3

 

 

 

М3 =

 

1

2

1

– базисный.

 

 

0

1

1

 

Чтобы определить ранг матрицы методом элементарных преобразо-

ваний, необходимо:

27

1. Выполнить элементарные преобразования над матрицей А, чтобы свести ее к трапециевидной форме: Am n ~А' m n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

а

а

...

а

а

...

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

13

 

1р

1р 1

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

а'

а'

...

а'

а'

...

а'

 

 

а11

а12

а13

 

а1n

 

 

 

22

23

 

2 р

2 р 1

 

2n

 

 

...

 

 

0

0

а'

...

а'

а'

...

а'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

3 р

3 р 1

 

3n

 

 

 

а21

а22

а23

...

а2n

 

...

... ... ... ...

...

... ...

 

 

А

а

а

а

...

а

 

:

 

0

0

0

...

'

'

...

'

 

,

 

31

32

33

 

3n

 

 

арр

арр 1

арn

 

...

...

...

...

...

 

 

...

... ... ... ...

...

... ...

 

 

 

а

а

а

...

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

m2

m3

 

mn

 

 

0

0

0

...

0

0

...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

... ... ... ...

...

... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

...

0

0

...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где а) все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю;

б) либо все элементы последних (m– p) –строк обращаются в ноль, либо m=p; в) все элементы главной диагонали а11, а22, а33,…..аpp отличны от нуля.

2. В полученной матрице сразу виден минор максимального порядка, отличный от нуля:

 

а11

а12

а13

...

а1р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

а'22

а'23

...

а'2 р

 

 

 

 

 

Мр=

0

0

а'

...

а'

= a'

a'

a'

......a'

0.

 

 

 

33

 

3 р

11

22

33

pp

 

 

...

...

... ... ...

 

 

 

 

 

 

0

0

0

...

а' рр

 

 

 

 

 

3. Значит, ранг и есть порядок этого минора rang(A) = p.

Пример

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований.

 

1

1

2

3

1

А = 2

1

0

4

5 .

 

1

1

0

3

2

 

6

3

4

8

3

Решение

Используя элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы, сведем матрицу к трапециевидной форме (первый и третий столбцы поменя-

28

ем местами; первую строку умножаем на (-2) и прибавляем к четвертой строке; вторую строку прибавляем к четвертой строке и вычитаем из третьей строки; третью строку умножаем на 2 и прибавляем к четвертой строке)::

1

1

2

3

1

 

2

 

1

1 3 1

 

2 1

1 3

1

 

А = 2

1

0

4

5

 

 

1

2

 

4

5

 

0

1

2

 

4

5

 

0

 

 

 

 

 

1

1

0

3

2

 

 

0

1

1

 

3 2

 

0

1

1

3 2

 

 

6

3

4

8

3

 

 

4

 

3

6 8 3

 

0

1

4

 

2

1

 

 

 

 

2

1

 

1

 

 

3

 

1

2

1

 

1

3

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1 2

 

 

4

 

5 0

 

1 2

4

5

= А

 

 

 

 

 

 

0

 

0

3

 

1

 

3

 

0

 

0

3 1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

6

 

 

2

 

6

 

0

 

0

 

0

0

0

 

 

 

 

В полученной матрице сразу виден минор максимального порядка, отличный от нуля:

2 1 1

М3 = 0

1

2 = 6 0.

0

0

3

Значит, ранг матрицы и есть порядок этого минора r(A) = 3.

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк и столбцов. В дальнейшем материал будем излагать для строк матрицы, для столбцов матрицы изложение аналогично.

Рассмотрим матрицу А вида

 

а11

а12

...

а1n

 

а

 

а

...

а

 

А =

 

21

22

...

2n .

...

...

...

 

 

аm1

аm2

...

аmn

Обозначим в матрице А ее строки следующим образом:

е1=(а11 а12 … а1n), e2=(а21 а22 … а2n), , em=(аm1 аm2 … аmn).

Определение 6. Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы:

eк = es, если akj = asj, j = 1,…, n.

Выше отмечено, что элементарные преобразования строк матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции проводимые поэлементно: λ eк =( λ ак1 λ ак2 λ акn), где λ действительное число;

eк + es =( ak1 + as1 ak2 + es2 akn + esn).

Определение 7. Строка е называется линейной комбинацией строк е1,

е2, , еs матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: