Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

39

Запишем систему в виде матричного уравнения

Вычислим определитель матрицы А (det A = – 8 ≠ 0), поэтому можно решить матричным методом, так как при этом система размерности 3×3 (3

Находим решение системы по формуле

то есть получили решение х = 2, у = 0, z = – 1 для данной системы. Чтобы проверить истинность полученного результата, сделаем проверку, подставляя значения x, y, z в исходную систему:

Замечание. Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений целесообразно применять к системам, в которых число неизвестных совпадает с числом уравнений.

Метод Гаусса. Введем понятие элементарных преобразований расширенной матрицы системы (1.4.1):

1.перестановка строк (столбцов) матрицы;

2.умножение строки матрицы на действительное число отличное от нуля и сложение с другой строкой;

40

3.вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю;

4.вычеркивание одной из пропорциональных строк матрицы;

5.умножение строки матрицы на число отличное от нуля.

Чтобы решить систему m – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными методом Гаусса, необходимо записать расширенную матрицу системы и, используя элементарные преобразования расширенной матрицы системы, привести ее к трапециевидной форме. В результате этих преобразований матрица примет один их трех видов (рис.1.4.1, а, б, в).

Рис. 1.4.1, а , б, в

Если матрицу можно свести к виду рис. 1.4.1, а, то система совместна и имеет единственное решение. Чтобы найти его, нужно от расширенной матрицы перейти вновь к системе. Из последнего уравнения найти соответствующее неизвестное. Поднимаясь вверх по системе, подставляя найденное неизвестное в предыдущее уравнение, находим следующее неизвестное и так далее.

Пример

С помощью метода последовательных исключений Гаусса выяснить вопрос о совместности данной неоднородной системы и, в случае совместности, решить ее:

Решение

Составим расширенную матрицу А и проведем необходимые элементарные преобразования строк (работать со столбцами не желательно, так как имеем дело с системой уравнений):

Если матрицу можно свести к виду рис. 1.4.1, б, то система совместна и имеет множество решений. Способ нахождения множества решений совместной системы уравнений будет рассмотрен в параграфе 1.4.3.

Если матрицу можно свести к виду рис. 1.4.1, в, то система несовмест-

на.

1.4.3. Общая схема исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений

Используя определения, методы, теоремы, рассмотренные в п. 1.4.1 и 1.4.2, можно составить общую схему исследования и решения системы линейных алгебраических уравнений (1.4.1):

1.Записать расширенную матрицу системы.

2.Найти ранг основной и расширенной матриц системы r(A), r( А):

а) если ранги матриц различны r(A) ≠ r( А), то система несовместна;

б) если ранги матриц равны r(A) = r( А) =n, где n – число неизвестных, то система совместна, имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью методов, рассмотренных в п. 1.4.2;

в) если ранги матриц равны r(A) = r( А) = r, но r < n, то система совместна, имеет множество решений, которое можно найти методом, описанным далее.

Запишем укороченную систему уравнений, соответствующую последней матрице, полученной из расширенной матрицы системы путем элементарных преобразований:

Эта система будет эквивалентна исходной. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых r строках и столбцах матрицы А, поэтому назовем неизвестные х1,…, х2, базисными, а хr+1,…, хn свободными, и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений (1.4.7).

Получим систему относительно базисных неизвестных:

хn=cn– r имеет единственное решение х1(с1,…,сn– r),…, хr(с1,…,сn– r), находимое по методу Гаусса. Соответствующее решение укороченной, а следовательно,

и исходной систем имеет вид

Определение 7. Функция (1.4.8), выражающая произвольное решение системы в виде вектор – функции от n – r свободных неизвестных, называет-

ся общим решением системы (1.4.1).

Примеры

1. Исследовать и решить неоднородную систему методом Гаусса.

Следовательно, rang(A) = rang( А) = 2 n = 4. Поэтому система совместна и имеет бесчисленное множество решений, зависящих от двух парамет-

ров (n – r = 4 – 2 = 2).

Последней матрице, эквивалентной матрице А соответствует система уравнений, эквивалентная исходной:

x1 2x2 x3 x4 5,x2 x3 x4 3.

44

Так как 2 10 12 1 0 1 0 , то в качестве базисных неизвестных

берем x1 и x2, а x3 и x4 принимаем за свободные неизвестные (параметры). Тогда из второго уравнения последней системы имеем x2=3 – x3 – x4. Подставив выражение для x3 в первое уравнение, найдем x1=5–2 (3–x3–x4) x3–x4=–1+x3+x4. Полагая x3=c1, x4=c2 запишем решение в следующем виде:

c1

c2

То есть получим множество решений, зависящих от двух параметров. Замечание. За базисные неизвестные можно было принять также x1, x3

или x1, x4, или x2, x4, но не x3, x4, так как определитель, составленный из коэффициентов при x3 и x4 невозможно выразить через x1 и x2.

2. Исследовать неоднородную систему на совместность.

2x1 3x2 x3 2,3x1 x2 3x3 1,5x1 2x2 2x3 4.

Решение

Проверим совместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли. В расширенной матрице

меняем третий и первый столбец местами (запоминая, что поменяли местами x3 и x1), умножаем первую строку на 3 и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибавляем к третей, из второй строки вычитаем третью:

Капелли, из того, что rang(A) rang( А), следует несовместность исходной системы (нет решений).

Пример

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

45

x1 5x2 x3 3,2x1 4x2 3x3 2,3x1 x2 3x3 7.

Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее методом Гаусса.

Решение. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг мат-

Для этого умножим первую строку матрицы А на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

Следовательно, rang(A) = rang( А) = 3 (то есть числу неизвестных n=3). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

Перейдем от матрицы системы, полученной элементарными преобразованиями, к самой системе, не забывая, что переставляли местами столбцы расширенной матрицы

x1 x3 5x2 3,x3 6x2 4,16x2 16.

Из полученной системы, двигаясь от последнего уравнения к первому, находим: x3= – 2, x2= 1, x1= – 4. Делаем проверку и записываем единственное

4

решение X 1 .

2

46

1.4.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Остановимся подробнее на решении однородных систем линейных алгебраических уравнений, которые записываются в виде (1.4.2)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое, (тривиальное) решение (0;0; …;0).

Если в однородной системе (1.4.2) m = n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, то есть при r(A) < n (смотри таблицу, иллюстрирующую теорему Кронекера – Капелли).

Обозначим решение однородной системы (1.4.2) x1 = k1, x2 = k2,…., xn =

kn в виде строки е1=(k1 k2, …… kn).

Решения однородной системы линейных алгебраических уравнений обладают следующими свойствами:

1.Если строка е1=(k1 k2, … kn) – решение системы (1.4.2), то и строка λе1=(λk1 λk2 … λkn) – также решение этой системы.

2.Если строки е1 = (k1 k2 … kn) и е2 = (l1 l2 … ln) – решения системы (1.4.2), то

при любых с1 и с2 их линейная комбинация с1е1+с2е2 = (с1k1+с2l1 с1k2+с2l2 … с1kn+с2ln) – также решение данной системы.

Убедиться в справедливости указанных свойств решений системы линейных однородных уравнений можно непосредственной их подстановкой в уравнения системы.

Из сформулированных свойств, следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому представляет интерес найти такие линейно независимые решения однородной системы (1.4.2), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

Определение 8. Система линейно независимых решений е1, е2, ……, еk называется фундаментальной, если каждое решение однородной системы (1.4.2) является линейной комбинацией решений е1, е2, ……, еk .

Теорема 3. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных однородной системы линейных алгебраических уравнений (1.4.2) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (1.4.2) состоит из n – r решений.

47

Поэтому общее решение однородной системы линейных алгебраиче-

ских уравнений имеет вид:

с1е1+с2е2+…….+сkеk ,

где е1, е2, …, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2, …., сk – произвольные числа и k = n– r.

Можно показать, что общее решение системы m линейных уравнений с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей однородной системы линейных алгебраических уравнений и произвольного частного решения этой систем.

Примеры

1. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

2x1 4x2 5x3 0,

x1 2x2 3x3 0,3x1 x2 2x3 0.

Решение

Однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно, нулевое, решение.

Сравнивая rang(A) и rang( А) выясняем, что есть единственное (нулевое) решение или множество.

Запишем и преобразуем

Получим rang(A) = rang( А) = 3 = n = 3 , поэтому решение единственное

0

нулевое X 0 .

0

Замечание. Можно было единственность решения выяснить подругому. Определитель системы

Поэтому по методу окаймляющих миноров rang(A) = 3 = n = 3 решение единственное нулевое.

2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

3x1 4x2 x3 0,x1 3x2 5x3 0,4x1 x2 4x3 0.

Решение

Так как 0 , то система имеет ранг r < 3 = n и бесчисленное множество решений (заранее известно, что однородная система всегда совместна). Удобнее решать ее методом Гаусса. Проведем элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы (первую и вторую строки поменяем местами; первую строку полученной матрицы умножим на (-3) и прибавим ко второй строке; туже первую строку умножим на (-4) и прибавим к третьей строке; полученную вторую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей строке):

возьмем x1 и x2 (хотя можно брать и другие неизвестные), а x3 = c – возьмем за свободную переменную (n – 2=3 – 2=1, то есть одна свободная переменная). Записываем эквивалентную исходную систему, из ступенчатой матрицы Гаусса: