Решение.

Единственной изолированной особой точкой функции, очевидно, является . Во всех остальных точках комплексной плоскости функции является аналитической.

Для разложения функции в ряд Лорана преобразуем её следующим образом, выделив явно :

Воспользуемся стандартным разложением косинуса в ряд Тейлора:

Видно, что является существенно особой точкой функции, так как ряд Лорана содержит в главной части бесконечное число слагаемых.

Для вычисления интеграла изобразим контуры и особую точку функции на рисунке.

Найдем вычеты функции . В разложении функции в ряд Лорана по степеням , коэффициенту соответствует слагаемое 0.

Следовательно, .

Вычислим заданные интегралы:

, т.к. внутри контура расположена только одна особая точка функции.

, т.к. внутри контура расположена только одна особая точка функции.

, т.к. точка расположена вне контура интегрирования.

Задача 7. Вычислите интеграл с помощью интегральной формулы Коши. Направление обхода контура – положительное.

, .

Решение.

.

Подынтегральная функция имеет следующие особые точки: , , .

Изобразим контур интегрирования и особые точки на рисунке.

Внутри контура интегрирования расположены точки , , . Окружим их контурами , , в виде положительно ориентированной окружности, целиком лежащей внутри круга , в результате получим двухсвязную область. По интегральной теореме Коши для многосвязной области запишем

Задача 8. Найдите изображение заданного оригинала.

.

Решение.

Представим заданную функцию-оригинал в виде , где

Используя таблицу получим

Окончательно по свойству линейности преобразования Лапласа получаем

Задача 9. Найдите оригинал по заданному изображению.

.

Решение.

Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей

Воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим

.

Задача 10. Решите дифференциальное уравнение операционным методом.

; , .

Решение.

Пусть правая часть уравнения является оригиналом, тогда и искомая функция будет оригиналом. Преобразуем обе части уравнения по Лапласу, воспользовавшись формулой изображения производной оригинала:

, где .

Имеем

,

,

,

.

Операторное уравнение имеет вид

,

.

Выразим :

Упростим данное выражение, представив его в виде суммы простейших дробей:

Таким образом

Следовательно, решением заданного уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция

.