ИПР3-2(15 вариант)
.docxИндивидуальная практическая работа ИПР3-2
Вариант 15
Задача 1. Постройте на комплексной плоскости область , заданную системой неравенств. Проверьте, принадлежит ли заданная точка области .
Решение.
Неравенство соответствует внешней части круга радиусом с центром в точке , включая ограничивающую его окружность.
Неравенство соответствует внутренней части круга радиусом с центром в точке , включая ограничивающую его окружность.
Неравенство соответствует сектору окружности. На рисунке представлена область .
Точка не принадлежит области . Проверим это аналитически:
- неравенство выполнено.
- неравенство не выполнено.
- неравенство не выполнено.
Значит, точка не принадлежит области .
Задача 2. Определите область (круг) сходимости данного комплексного ряда. Исследуйте его сходимость (сходится абсолютно, сходится условно, расходится) в точках , , .
; , , .
Решение.
Применим признак Даламбера:
, .
Отсюда, следовательно, ряд сходится при условии или внутри круга радиусом с центром в точке .
На рисунке изображены точки, которые необходимо исследовать и область сходимости.
Точка расположена на границе круга сходимости, т.к. . Для исследования сходимости заданного ряда в этой точке подставим её в ряд:
.
.
Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно в точке при .
Точка расположена внутри круга сходимости, т.к. , поэтому ряд в ней сходится абсолютно.
Точка расположена вне круга сходимости, т.к. , поэтому ряд в ней расходится.
Задача 3. Проверьте, является и функция аналитической в области . Вычислите интеграл от этой функции по указанной кривой .
;
;
– ломаная : , , .
Решение.
Для проверки того, является ли функция аналитической, воспользуемся условиями Коши-Римана. Для этого с помощью формулы представим заданную функцию в виде . С учетом имеем
откуда получаем
, .
Найдем частные производные
,
,
,
.
Теперь проверим выполнение условия Коши-Римана:
,
.
Так как условия Коши-Римана выполняются для любых и , то функция является аналитической на всей комплексной плоскости, включая и область .
Теперь вычислим интеграл от заданной функции.
– ломаная : , , .
Заданная кривая представляет собой ломаную : , , .
В данном случае воспользуемся формулой
.
На отрезке : .
На отрезке : .
На отрезке : .
Вычислим интеграл
Задача 4. Функция разложена в ряд Лорана в окрестности своей изолированной особой точки , где .
А) Определите тип особой точки и найдите в ней вычет функции .
Б) Вычислите с помощью вычетов интеграл , если .
, ; .
Решение.
Т.к. функция в окрестности изолированной точки содержит бесконечное число слагаемых в главной части, то точка является существенно особой точкой.
Вычетом функции в точке называется коэффициент разложения этой функции в ряд Лорана по степеням , в данном случае , значит,
.
Рассмотрим интеграл .
Внутри контура интегрирования расположена только одна особая точка подынтегральной функции, которая согласно ряду Лорана является существенно особой точкой. Вычет в этой точке равен , значит,
.
Задача 5. Найдите все лорановские разложения функции по степеням .
, .
Решение.
Функция не является аналитической, т.к. имеем изолированную особую точку . Исключим ее из рассмотрения, разбив комплексную плоскость на две области и окружностью с центром в точке радиусом, равным расстоянию от до особой точки:
.
Найдем .
Таким образом, имеем
,
.
Для удобства разложения в ряд Лорана преобразуем заданную функцию, выделив явно выражение :
В области имеем:
.
Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в области выполнено неравенство , значит,
.
В области имеем:
.
Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в области выполнено неравенство , значит,
.
Таким образом, в разных областях аналитичности функция имеет различные разложения в ряд Лорана.
Задача 6. Дана функция . Найдите её изолированную особую точку и разложите функцию в ряд Лорана в окрестности точки . С помощью вычетов найдите интегралы , , , где , , – заданные контуры.
; , , .
Решение.
Единственной изолированной особой точкой функции, очевидно, является . Во всех остальных точках комплексной плоскости функции является аналитической.
Для разложения функции в ряд Лорана преобразуем её следующим образом, выделив явно :
Воспользуемся стандартным разложением косинуса в ряд Тейлора:
Видно, что является существенно особой точкой функции, так как ряд Лорана содержит в главной части бесконечное число слагаемых.
Для вычисления интеграла изобразим контуры и особую точку функции на рисунке.
Найдем вычеты функции . В разложении функции в ряд Лорана по степеням , коэффициенту соответствует слагаемое 0.
Следовательно, .
Вычислим заданные интегралы:
, т.к. внутри контура расположена только одна особая точка функции.
, т.к. внутри контура расположена только одна особая точка функции.
, т.к. точка расположена вне контура интегрирования.
Задача 7. Вычислите интеграл с помощью интегральной формулы Коши. Направление обхода контура – положительное.
, .
Решение.
.
Подынтегральная функция имеет следующие особые точки: , , .
Изобразим контур интегрирования и особые точки на рисунке.
Внутри контура интегрирования расположены точки , , . Окружим их контурами , , в виде положительно ориентированной окружности, целиком лежащей внутри круга , в результате получим двухсвязную область. По интегральной теореме Коши для многосвязной области запишем
Задача 8. Найдите изображение заданного оригинала.
.
Решение.
Представим заданную функцию-оригинал в виде , где
Используя таблицу получим
Окончательно по свойству линейности преобразования Лапласа получаем
Задача 9. Найдите оригинал по заданному изображению.
.
Решение.
Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей
Воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
.
Задача 10. Решите дифференциальное уравнение операционным методом.
; , .
Решение.
Пусть правая часть уравнения является оригиналом, тогда и искомая функция будет оригиналом. Преобразуем обе части уравнения по Лапласу, воспользовавшись формулой изображения производной оригинала:
, где .
Имеем
,
,
,
.
Операторное уравнение имеет вид
,
.
Выразим :
Упростим данное выражение, представив его в виде суммы простейших дробей:
Таким образом
Следовательно, решением заданного уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция
.