Индивидуальная практическая работа ИПР3-1
Вариант 15
Задача 1. Исследуйте сходимость числового ряда, применив для этого подходящий признак сходимости
.
Решение.
, .
Применим признак Даламбера.
И, следовательно, ряд расходится.
Задача 2. Исследуй сходимость числового ряда, применив для этого подходящий признак сходимости.
.
Решение.
Воспользуемся интегральным признаком Коши
следовательно, ряд расходится.
Задача 3. Исследуйте сходимость числового ряда, применив для этого подходящий признак сходимости
.
Решение.
.
Воспользуемся предельным признаком Коши
,
следовательно, ряд сходится.
Задача 4. Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда. Установите характер сходимости (абсолютная или условная).
.
Решение.
Т.к. и ,
то выполнены условия признака Лейбница, и данный ряд сходится.
Для установления характера сходимости составим ряд из абсолютных величин, т.е. ряд .
.
Воспользуемся интегральным признаком Коши
следовательно, ряд расходится. Значит, и исходный ряд расходится. Следовательно, ряд сходится условно.
Задача 5. Найдите интервал и область сходимости степенного ряда.
.
Решение.
Для нахождения области сходимости ряд воспользуемся признаком Даламбера .
Ряд сходится при .
Отсюда интервал сходимости .
Исследуем поведение ряда в точках и .
При имеем ряд . Воспользуемся признаком Лейбница
и , выполнены условия признака и ряд сходится.
При имеем ряд .
Воспользуемся признаком сравнения
.
Ряд сходится, следовательно, и ряд - сходится.
Таким образом, областью сходимости ряда является интервал .
Задача 6. Пользуясь признаком Вейерштрасса, докажите равномерную сходимость данного ряда на указанном промежутке.
; .
Решение.
.
Исследуем с помощью признака Даламбера следующий ряд .
.
Следовательно, ряд сходится. Таким образом, из сходимости мажорирующего ряда в силу признака Вейерштрасса следует, что исходный ряд сходится на равномерно.
Задача 7. Разложите функцию в ряд Тейлора по степеням .
; .
Решение.
Ряд Тейлора имеет вид , где .
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Задача 8. Вычислите интеграл, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Укажите количество членов числового ряда, полученного поле интегрирования степенного ряда, необходимое для достижения точности вычислений с погрешностью .
.
Решение.
Разложим подынтегральную функцию
.
Подставляя в интеграл вышеприведенное разложение подынтегральной функции и почленно интегрируя в указанных пределах, получаем
Ряд знакочередующийся. Погрешность замены суммы ряда суммой его первых членов по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов. И поскольку , то для вычисления приближенного значения интеграла с требуемой точностью достаточно взять первые четыре слагаемых.
.
Задача 9. Вычислите предел, используя разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
.
Решение.
,
,
.
Задача 10. Разложите функцию
в тригонометрический ряд Фурье на интервале .
Решение.
Запишем функцию следующим образом
Период в данном случае , полупериод .
Найдем коэффициенты разложения в ряд Фурье
Разложение в тригонометрический ряд Фурье будет следующим
Задача 11. Разложите функцию в тригонометрический ряд Фурье по синусам на интервале .
Решение.
Для получения ряда Фурье по синусам, доопределим функцию на интервале нечетным образом:
Имеем
Вычислим коэффициенты Фурье
Таким образом, ряд Фурье по синусам имеет вид
Задача 12. Найдите косинус-преобразование Фурье функции , .
Решение.
Индивидуальная практическая работа ИПР3-2
Вариант 15
Задача 1. Постройте на комплексной плоскости область , заданную системой неравенств. Проверьте, принадлежит ли заданная точка области .
Решение.
Неравенство соответствует внешней части круга радиусом с центром в точке , включая ограничивающую его окружность.
Неравенство соответствует внутренней части круга радиусом с центром в точке , включая ограничивающую его окружность.
Неравенство соответствует сектору окружности. На рисунке представлена область .
Точка не принадлежит области . Проверим это аналитически:
- неравенство выполнено.
- неравенство не выполнено.
- неравенство не выполнено.
Значит, точка не принадлежит области .
Задача 2. Определите область (круг) сходимости данного комплексного ряда. Исследуйте его сходимость (сходится абсолютно, сходится условно, расходится) в точках , , .
; , , .
Решение.
Применим признак Даламбера:
, .
Отсюда, следовательно, ряд сходится при условии или внутри круга радиусом с центром в точке .
На рисунке изображены точки, которые необходимо исследовать и область сходимости.
Точка расположена на границе круга сходимости, т.к. . Для исследования сходимости заданного ряда в этой точке подставим её в ряд:
.
.
Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно в точке при .
Точка расположена внутри круга сходимости, т.к. , поэтому ряд в ней сходится абсолютно.
Точка расположена вне круга сходимости, т.к. , поэтому ряд в ней расходится.
Задача 3. Проверьте, является и функция аналитической в области . Вычислите интеграл от этой функции по указанной кривой .
;
;
– ломаная : , , .
Решение.
Для проверки того, является ли функция аналитической, воспользуемся условиями Коши-Римана. Для этого с помощью формулы представим заданную функцию в виде . С учетом имеем
откуда получаем
, .
Найдем частные производные
,
,
,
.
Теперь проверим выполнение условия Коши-Римана:
,
.
Так как условия Коши-Римана выполняются для любых и , то функция является аналитической на всей комплексной плоскости, включая и область .
Теперь вычислим интеграл от заданной функции.
– ломаная : , , .
Заданная кривая представляет собой ломаную : , , .
В данном случае воспользуемся формулой
.
На отрезке : .
На отрезке : .
На отрезке : .
Вычислим интеграл
Задача 4. Функция разложена в ряд Лорана в окрестности своей изолированной особой точки , где .
А) Определите тип особой точки и найдите в ней вычет функции .
Б) Вычислите с помощью вычетов интеграл , если .
, ; .
Решение.
Т.к. функция в окрестности изолированной точки содержит бесконечное число слагаемых в главной части, то точка является существенно особой точкой.
Вычетом функции в точке называется коэффициент разложения этой функции в ряд Лорана по степеням , в данном случае , значит,
.
Рассмотрим интеграл .
Внутри контура интегрирования расположена только одна особая точка подынтегральной функции, которая согласно ряду Лорана является существенно особой точкой. Вычет в этой точке равен , значит,
.
Задача 5. Найдите все лорановские разложения функции по степеням .
, .
Решение.
Функция не является аналитической, т.к. имеем изолированную особую точку . Исключим ее из рассмотрения, разбив комплексную плоскость на две области и окружностью с центром в точке радиусом, равным расстоянию от до особой точки:
.
Найдем .
Таким образом, имеем
,
.
Для удобства разложения в ряд Лорана преобразуем заданную функцию, выделив явно выражение :
В области имеем:
.
Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в области выполнено неравенство , значит,
.
В области имеем:
.
Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в области выполнено неравенство , значит,
.
Таким образом, в разных областях аналитичности функция имеет различные разложения в ряд Лорана.
Задача 6. Дана функция . Найдите её изолированную особую точку и разложите функцию в ряд Лорана в окрестности точки . С помощью вычетов найдите интегралы , , , где , , – заданные контуры.
; , , .