3. Нахождение оптимального плана работы флота и оптимальных схем движения судов при помощи пакета пэр.
Перенумеруем переменные, чтобы они были одноиндексными (табл. 3.1)
Таблица 3.1. Переход от двухиндексной к одноиндексной нумерации переменных
|
x11 |
x12 |
x13 |
x14 |
x21 |
x22 |
x23 |
x24 |
х31 |
х32 |
x33 |
x34 |
Знак |
Правые части ограничений |
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 | ||
|
11 |
|
|
|
8 |
|
|
|
4 |
|
|
|
≤ |
600 |
|
11 |
11 |
11 |
|
9 |
9 |
9 |
|
3 |
3 |
3 |
|
≤ |
500 |
|
|
10 |
|
|
|
8 |
|
|
|
3 |
|
10 |
≤ |
450 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
9 |
|
|
|
4 |
≤ |
700 |
|
91 |
101 |
64 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1460 |
|
|
|
|
|
88 |
98 |
64 |
39 |
|
|
|
|
= |
1825 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
76 |
55 |
28 |
= |
2190 |
|
507,2 |
473,2 |
277,2 |
189 |
394,8 |
383,6 |
226,8 |
170,1 |
159,6 |
134,4 |
75,6 |
72,6 |
→ |
max |
Запишем математическую модель в координатной форме с использованием конкретных числовых данных:
Целевая функция:
Z=507,2*x1+473,2*x2+277,2*x3+189*x4+
+394,8*x5+383,6*x6+226,8*x7+170,1*x8+
+159,6 *x9+ 134,4* x10+ 75,6* x11 +72,6*x12 +0*x13+0*x14+0*x15+0*x16 – max
Ограничения :
11* x1
+8*
x25+4*
x9
600;
11* x1+11* x2+11* x3+9* x5+9* x6+9* x7+
+3* x9+3*
x10+3*
x11
500;
10*
x2+8*
x6+3*x10
450;
10* x4+
9*
x8
+4*
x2
700;
91 x1 +101 x2+ 64 x3+41x4= 1460;
88 x5 +98x6+ 64x7+39x8= 1825;
58 x9 +76 x10+ 55 x11+28x12= 2190.
xij
0 ( і
= 1,3 ; j
= 1,4).
Перейдем от задачи в стандартной форме к задаче в канонической форме (преобразуем неравенства в уравнения с помощью дополнительных переменных):
Z=507,2*x1+473,2*x2+277,2*x3+189*x4+
+394,8*x5+383,6*x6+226,8*x7+170,1*x8+
+159,6 *x9+ 134,4* x10+ 75,6* x11 +72,6*x12 +
+0*x13+0*x14+0*x15+0*x16 – max
11* x1 +8* x25+4* x9+x13 =600;
11* x1+11* x2+11* x3+9* x5+9* x6+9* x7+
+3* x9+3* x10+3* x11 +x14 = 500;
10* x2+8* x6+3*x10 +x15 =450;
10* x4+ 9* x8 +4* x2 +x16 =700;
91 x1 +101 x2+ 64 x3+41x4= 1460;
88 x5 +98x6+ 64x7+39x8= 1825;
58 x9 +76 x10+ 55 x11+28x12= 2190.
xij
0 ( і
= 1,3 ; j
= 1,4).
Обозначаем вектора условий :
А1=
А2=
А3=
А4=
А5=
А6=
А7=
А8=
А9=
А10=
А11==
А12=
А13=
А14=
А15=
А16=
Данная система ограничений не содержит нужных для построения базиса (m+n) единичных векторов – условий. Применим метод искусственного базиса и перейдем от исходной задачи к расширенной путем ввода искусственных переменных x17, x18 и x19.
Z=507,2*x1+473,2*x2+277,2*x3+189*x4+
+394,8*x5+383,6*x6+226,8*x7+170,1*x8+
+159,6 *x9+ 134,4* x10+ 75,6* x11 +72,6*x12 +
+0*x13+0*x14+0*x15+0*x16 -
–М*x17 –М*x18–М*x19– max
Ограничения:
11* x1 +8* x25+4* x9+x13 =600;
11* x1+11* x2+11* x3+9* x5+9* x6+9* x7+3* x9+3* x10+3* x11 +x14 = 500;
10* x2+8* x6+3*x10 +x15 =450;
10* x4+ 9* x8 +4* x2 +x16 =700;
91 x1 +101 x2+ 64 x3+41x4+x17 = 1460;
88 x5 +98x6+ 64x7+39x8+x18 = 1825;
58 x9 +76 x10+ 55 x11+28x12+x19 = 2190.
xij
0 ( і
= 1,3 ; j
= 1,4).
Мы получили 7 единичных векторов необходимых для построения базиса:
А13=
А14=
А15=
А16=
А17=
А17=
А18=
А19=
В=
Вычислим значение базисных переменных.
Тогда исходный опорный план расширенной задачи таков:
X= (x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=0; x6=0; x7=0; x8=0; x9=0; x10=0; x11=0; x12=0; x13=600; x14=500; x15=450; x16=700; x17=1460; x18=1825; x19=2190).
Составим симплекс-таблицу для исходного опорного плана расширенной задачи (табл.3.2)
Таблица 3.2 Симплекс-таблица для исходного опорного плана
|
Строка |
Базис |
СБ |
В |
507,2 |
473,2 |
277,2 |
189 |
394,8 |
383,6 |
226,8 |
170,1 |
159,6 |
134,4 |
75,6 |
72,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-М |
-М |
-М |
|
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
А9 |
А10 |
А11 |
А12 |
А13 |
А14 |
А15 |
А16 |
А17 |
А18 |
А19 | ||||
|
1 |
А13 |
0 |
600 |
11 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
А14 |
0 |
500 |
11 |
11 |
11 |
0 |
9 |
9 |
9 |
0 |
3 |
3 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
А15 |
0 |
450 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
А16 |
0 |
700 |
0 |
0 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
А17 |
-M |
1460 |
91 |
101 |
64 |
41 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
А18 |
-M |
1825 |
0 |
0 |
0 |
0 |
88 |
98 |
64 |
39 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
7 |
А19 |
-М |
2190 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
58 |
76 |
55 |
28 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
m+1 |
Zj -Cj |
0 |
-507,2 |
-473,2 |
-277,2 |
-189 |
-394,8 |
-383,6 |
-226,8 |
-170,1 |
-159,6 |
-134,4 |
-75,6 |
-72,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
|
m+2 |
-4745 |
-91 |
-101 |
-64 |
-41 |
-88 |
-98 |
-64 |
-39 |
-58 |
-76 |
-55 |
-28 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | ||
План в табл. 3.2 неоптимальный, так как есть отрицательные оценки, а задача на максимум. Оптимальный план находим с помощью MS Excel
Excel – это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчетов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.
Это такой набор программ для работы в офисе. Самые популярные приложения в нем - Word и Excel.
Excel (эксель) – это что-то вроде калькулятора с множеством функций и возможностей. В этой программе можно составлять отчеты, производить вычисления любой сложности, составлять диаграммы. Нужна она, в первую очередь, бухгалтерам и экономистом.
Ценной возможностью Excel является возможность писать код на основе Visual Basic для приложений. Этот код пишется с использованием отдельного от таблиц редактора. Управление электронной таблицей осуществляется посредством объектно-ориентированной модели кода и данных. С помощью этого кода данные входных таблиц будут мгновенно обрабатываться и отображаться в таблицах и диаграммах (графиках). Таблица становится интерфейсом кода, позволяя легко работать изменять его и управлять расчётами.
Для того чтобы решить задачу ЛП в табличном процессоре Microsoft Excel необходимо выполнить следующие действия:
1. Ввести условие задачи:
a) создать экранную форму для ввода условия задачи:
· переменных,
· целевой функции (ЦФ),
· ограничений,
· граничных условий;
b) ввести исходные данные в экранную форму:
· коэффициенты ЦФ,
· коэффициенты при переменных в ограничениях,
· правые части ограничений;
c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:
· формулу для расчета ЦФ,
· формулы для расчета значений левых частей ограничений;
d) задать ЦФ (в окне "Поиск решения"):
· целевую ячейку,
· направление оптимизации ЦФ;
e) ввести ограничения и граничные условия (в окне "Поиск решения"):
· ячейки со значениями переменных,
· граничные условия для допустимых значений переменных,
· соотношения между правыми и левыми частями ограничений.
2. Решить задачу:
a) установить параметры решения задачи (в окне "Поиск решения");
b) запустить задачу на решение (в окне "Поиск решения");
c) выбрать формат вывода решения (в окне "Результаты поиска решения").
Введя все ограничения, получаем оптимальный план задачи:
Таблица 3.3. Оптимальный план задачи
х1=
х11=0
х2= х12=10,84
х3= х13=0
х4= х14=0
х5= х21=0
х6= х22=18,62
х7= х23=0
х8= х24=0
х9= х31=0
х10= х32=24,01
х11= х33=0
х12= х34=0
Zmax=15501,17
Экономический смысл полученных данных:
Х11= 0 - судами 1-го типа выполнено 0 рейсов по 1й схеме.
Х12= 10,84 - Судами 1-го типа выполнено 10 рейсов по 2-й схеме.
Х13= 0 - Судами 1-го типа выполнено 0 рейсов по 3-й схеме.
Х14= 0 - Судами 1го типа выполнено 0 рейса по 4-й схеме.
Х21= 0 - Судами 2го типа выполнено 0 рейсов по 1-й схеме.
Х22= 18,62 - Судами 2-го типа выполнено 18 рейсов по 2-й схеме.
Х23= 0 - Судами 2-го типа выполнено 0 рейсов по 3-й схеме.
Х24= 0 - Судами 2-го типа выполнено 0 рейсов по 4-й схеме.
Х31= 0 - Судами 3го типа выполнено 0 рейсов по 1-й схеме.
Х32= 24 - Судами 3-го типа выполнено 24 рейса по 2-й схеме.
Х33= 0 - Судами 3-го типа выполнено 0 рейсов по 3-й схеме.
Х34= 0 - Судами 3-го типа выполнено 0 рейсов по 4-й схеме.
Zmax=15501,17 –максимальный доход в инвалюте при работе судов по схемам.
В результате решения задачи получили оптимальные схемы движения.