19. Пряма в просторі

1.) r=r0+ts, де r-радіус-вектор змінної точки М, r0-радіус вектор заданої точки М0,

s- ненульовий напрямний вектор t-параметр.

tЄR

2.)r =(x,y,z) r0=(x0,y0,zo)

S=(l,m,n)

x=x0+l

y=y0+tm параметричне рівняння

z=z0+tn

3) (x-x0) = (y-y0) = (z-z0) канонічне рівняння

L m n

4) Рівняння прямої через дві задані точки

(x-x1) = (y-y1) = (z-z1)

x2-x1 y2-y1 z2-z1

Загальне рівняння прямої

Пряма задається за допомогою перетину двох площин

A1x+B1y+C1z+D1=0 де

A2x+B2y+C2z+D2=0

Зауваження: Для зведення з загального рівняння прямої до канонічного треба деяку точку спільну для обох площин, ця точка належатиме прямій.

Наприклад:A1 B1

A2 B2

Напрямний S можна взяти колінеарним S|| N1*N2, де N1,N2 нормальні вектори s=напрямний вектор прямої

20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині

Нехай прямі л1 та л2 задано рівняннями:

(x-x1) = (y-y1) = (z-z1) (x-x2) = (y-y2) = (z-z2)

m1 n1 p1 m2 n2 p2

Кут між цими прямими дорівнює куту β між її напрямними векторами s1=(m1,n1,p1) s2=(m2,n2,p2) тому дістанемо:

Соs β =s1*s2 = m1*m2 +n1*n2+p1*p2 ________

|s1|*|s2| √ (m1*m1+n1*n1+p1*p1) * √((m2*m2+n2*n2+p2*p2)

Умови належності двох прямих площині:

L1:S1,M1; x2-x1 y2-y1 z2-z1

L2:S2,M2; l1 m1 n1 = 0

M1M2*S1*S2=0 l2 m2 n2

21. Кут між прямою і площиною

_{sin=cos(-) =}

22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.

1)означення

Еліпсом називається множина точок площини, для яких сума відстаней до 2-ох фіксованих точок(фокус) є величиною сталих.

Складемо рівняння еліпса

Нехай F1,F2 –фокус еліпса

Якщо F1=F2 то еліпс являється колом.

Вибираємо систему координат так, щоб фокуси мали координати

F1(-c;0) F2(c;0) c > 0

|F1 F2| = 2c Беремо довільну точку М(х;у) |M F1| = r |M F2| = r r , r - фокальні радіуси точки еліпса, тому

r+ r =2a, a>0

a>c(з властивостей сторін трикутника)

r = |M F1| =

r = |M F2| =

підставляємо в рівняння зв’язку і будемо мати

+ =2а

(x + c)+ y=4a- 4a+ (x-c)+ y

a=a- cx

ax- 2acx +ac+ ay= a- 2acx + cx

(a- c)x+ ay= a(a- c)

b= b= a- c

bx+ ay= abінакше

+ =1

Властивості еліпса:

1) |x| ≤ a ; |y| ≤ b еліпс знаходиться в середині прямокутника із сторонами 2а і 2b еліпс має 2осі симетрії , та центр симетрій. якщо еліпс задано рівнянням 1, то ОХ, ОУ –вісі симетрії 0-центр симетрії.

Вісі симетрії називають головними осями еліпса, центр симетрії-центром еліпса.

точки перетину еліпса з головними осями називаються ВЕРШИНАМИ еліпса

_{y=f(x) x[a,b] f(….)}

2) Еліпс є результатом стиснення кола.